Enunciado

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando.

∫ x x - 1 d x

Passo 1

Pra eliminar essa, vamos pensar em uma função que substituída ali dentro consiga ser tirada da raiz. Bom, concorda comigo que se a gente substituir o termo todo que tá dentro da raiz por um quadrado, acabou o problema? Tipo assim:

x - 1 = u 2

E particularmente, vamos pegar o u positivo, já que isso não muda em nada nossa substituição! Derivando,

d x = 2 u d u

E o x que ficou sozinho vai ficar:

x = u 2 + 1

Passo 2

Substituindo lá:

I = x x - 1 d x

I = u 2 + 1 u 2 × 2 u d u

Tirando o u 2 de dentro da raiz, considerando o u como positivo:

I = u 2 + 1 u × 2 u d u

Juntando tudão:

I = 2 u 2 + 1 u 2 d u

Prontinho, sumimos com a raiz!

Resposta

x - 1 = u 2

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