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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 15

1-26 Calcule a integral.

13. int (d x)/(sqrt(x^2 - 9))

Passo 1

Eitaaa, mais uma integral que envolve radicais em, o que é a cara da substituição trigonométrica.A forma que geralmente simplificamos é usando a seguinte identidade: s e n^2 (x) + cos^2 (x) = 1

Mas temos que modificá-la para que se pareça com x^2 - a^2 , então vamos dividir tudo por cos^2 ( x ) , obtendo:

tan^2 ( x ) + 1 = sec^2 (x) harr t a n^2 (x) = sec^2 (x) - 1

Pois essa identidade agora se parece com x^2 - a^2 e como nossa raiz é quadrada, a identidade é quase a que precisamos continuar. Para que funcione perfeitamente deveriamos ter:

(3 tan (theta))^2 = (3 sec (theta))^2 - 3^2

Que agora se parece mais com x^2 - 3^2

Passo 2

Agora vamos fazer a substituição para simplificar a integral:

x = 3 s e c (theta) harr d x = 3 sec (theta) . tan (theta) d theta , - (pi)/(2) < theta < (pi)/(2)

Substituindo, temos:

int (d x)/(sqrt(x^2 - 9)) = int (3 sec (theta) . t a n ( theta ) d theta)/(sqrt(9 sec^2 (theta) - 9)) = int (3 sec (theta) . t a n ( theta ) d theta)/(sqrt(9) sqrt(tan^2 ( theta ) )) = int sec (theta) d theta

Viu? Muito simples, e como essa integral é uma das que a gente sabe de cabeça, vou apenas relembrar:

int sec (theta) d theta = l n |tan (theta) + s e c ( theta )| + C

Passo 3

Agora tudo que precisamos fazer é voltar a variável x , e para fazer isso vamos aplicar a função inversa de sen( theta ) : x = 3 s e c (theta) harr theta = a r c s e c ( (x)/(3) )

Então:

int (d x)/(sqrt(x^2 - 9)) = l n |tan (a r c s e c ( (x)/(3) )) + s e c ( a r c s e c ( (x)/(3) ) )| + C

Existe uma outra identidade que simplifica a expressão, mas não é uma identidade trivial. Vou deixá-la aqui para o caso de o gabarito estar diferente.

tan (a r c s e c ((x)/(3))) = (sqrt(x^2 - 9))/(3)

Então:

int (d x)/(sqrt(x^2 - 9)) = l n |(sqrt(x^2 - 9))/(3) + (x)/(3)| + C

Resposta

l n |(1)/(3) ( sqrt(x^2 - 9) + x )| + C

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