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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 13

1-26 Calcule a integral.

13. int (d x)/((1 - x^2)^((3)/(2)))

Passo 1

Como estamos lidando com uma integral que tem um radical, a primeira coisa que devemos fazer é pensar em como removê-lo, pois após fazer isso a integral fica muito mais fácil de se resolver.A forma que geralmente simplifcamos é usando a seguinte identidade: s e n^2 (x) + cos^2 (x) = 1 Mais especificamente, usaremos: cos^2 (x) = 1 - s e n ² ( x )

Pois essa identidade é muito parecida com 1 - x^2 e como nossa raiz é quadrada, a identidade acaba sendo perfeita para fazer a simplificação que queremos.

Passo 2

Agora vamos fazer a substituição para simplificar a integral:

x = s e n (theta) harr d x = cos (theta) d theta , - (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

Substituindo, temos:

int (d x)/((1 - x^2)^((3)/(2))) = int (cos (theta) d theta)/((1 - s e n^2 ( theta ))^((3)/(2))) = int (cos (theta) d theta)/(( cos^2 (theta)^((3)/() 2))) = int (cos (theta) d theta)/(cos^3 ( theta ))

Viu? No fim tudo se resume a resolver:

int (1)/(cos^2 (theta)) d theta = int s e c ² (theta) d theta = tan (theta) + C

Passo 3

Agora tudo que precisamos fazer é voltar a variável x , e para fazer isso vamos aplicar a função inversa de sen( theta ) : x = s e n (theta) harr theta = a r c s e n ( x )

Então:

int (d x)/((1 - x^2)^((3)/(2))) = tan (a r c s e n (x)) + C

Existe uma outra identidade que simplifica a expressão, mas não é uma identidade trivial. Vou deixá-la aqui para o caso de o gabarito estar diferente.

tan (a r c s e n (x)) = (x)/((1 - x^2)^(1 // 2 ))

Resposta

(x)/((1 - x^2)^((1)/(2))) + C

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