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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 70

Calcule a integral.

int t g^5 (4 x) sec^4 ( 4 x )

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

A gente vai resolver essa por substituições (é, mais de uma...). A primeira que a gente vai fazer é pra tirar esse 4 x dali.

u = 4 x -> d u = 4 d x -> d x = (d u)/(4)

Aí a gente ficou com:

(1)/(4) int t g^5 u sec^4 u d u

Agora a gente vai usar outro esquema...

Passo 2

Temos uma identidade trigonométrica que é:

sec^2 x = 1 + t g^2 x

Aplicando isso na nossa integral, temos:

(1)/(4) int t g^5 u (1 + t g^2 u) sec^2 u d u

Beleza! Agora a gente vai fazer outra substituição:

v = t g u

d v = sec^2 u d u

Passo 3

Aí vamos ficar com:

(1)/(4) int v^5 (1 + v^2) d v

Ótimo! Agora a gente integra em v :

= (1)/(4) int v^5 + v^7 d v

= (1)/(4) [(v^6)/(6) + (v^8)/(8)]

= (v^6)/(24) + (v^8)/(32)

Maravilha! Só falta a gente voltar pra nossa variável agora...

Passo 4

Voltando pra u a gente tem:

= (t g^6 u)/(24) + (t g^8 u)/(32)

E agora voltamos para a variável x e acrescentamos a constante:

= (t g^6 (4 x))/(24) + (t g^8 (4 x))/(32) + C

E finalizamos nossa integral por aqui😉

Resposta

(t g^6 (4 x))/(24) + (t g^8 (4 x))/(32) + C

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