Calcule a integral.

∫ t g 5 4 x sec 4 ⁡ ( 4 x )

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

A gente vai resolver essa por substituições (é, mais de uma...). A primeira que a gente vai fazer é pra tirar esse 4 x dali.

u = 4 x → d u = 4 d x → d x = d u 4

Aí a gente ficou com:

1 4 ∫ t g 5 u  sec 4 ⁡ u   d u

Agora a gente vai usar outro esquema...

Passo 2

Temos uma identidade trigonométrica que é:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x

Aplicando isso na nossa integral, temos:

1 4 ∫ t g 5 u 1 + t g 2 u sec 2 ⁡ u   d u

Beleza! Agora a gente vai fazer outra substituição:

v = t g   u

d v = sec 2 ⁡ u   d u

Passo 3

Aí vamos ficar com:

1 4 ∫ v 5 1 + v 2   d v

Ótimo! Agora a gente integra em v :

= 1 4 ∫ v 5 + v 7   d v

= 1 4 v 6 6 + v 8 8

= v 6 24 + v 8 32

Maravilha! Só falta a gente voltar pra nossa variável agora...

Passo 4

Voltando pra u a gente tem:

= t g 6 u 24 + t g 8 u 32

E agora voltamos para a variável x e acrescentamos a constante:

= t g 6 4 x 24 + t g 8 4 x 32 + C

E finalizamos nossa integral por aqui😉

Resposta

t g 6 4 x 24 + t g 8 4 x 32 + C

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