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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 71

Calcule a integral.

int (x + 3)/(sqrt(x^2 + 2 x + 2)) d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui vai ficar grandinha hein? Mas vamos com calma...

Vamos separar essa integral em duas, assim:

int (x)/(sqrt(x^2 + 2 x + 2)) d x + int (3)/(sqrt(x^2 + 2 x + 2)) d x

Ok, agora vamos resolver cada uma separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 2

Resolvendo primeiro a:

int (x)/(sqrt(x^2 + 2 x + 2)) d x

Vamos completar o quadrado na função da raiz:

int (x)/(sqrt(x^2 + 2 x + 1 - 1 + 2)) d x = int (x)/(sqrt((x + 1)^2 + 1)) d x

Beleza, agora a gente faz a substituição u = x + 1 . Teremos d u = 1 d x e x = u - 1 :

int (u - 1)/(sqrt(u^2 + 1)) d u

Passo 3

Agora nós vamos separar essa integral novamente:

int (u)/(sqrt(u^2 + 1)) d u - int (1)/(sqrt(u^2 + 1)) d u

Resolvendo a primeira:

int (u)/(sqrt(u^2 + 1)) d u -> v = u^2 + 1 -> d v = 2 u d u -> (d v)/(2) = u d u

= (1)/(2) int (1)/(sqrt(v)) d v = (1)/(2) (2 sqrt(v)) = sqrt(v) = sqrt(u^2 + 1)

E a segunda é uma integral elementar (tem nas tabelas do livro):

int (1)/(sqrt(u^2 + 1)) d u = ln |u + sqrt(u^2 + 1)|

E aí juntando as duas:

int (u - 1)/(sqrt(u^2 + 1)) d u = sqrt(u^2 + 1) - ln |u + sqrt(u^2 + 1)| + C

Falta voltar pra variável x , sendo que fizemos u = x + 1 :

sqrt((x + 1)^2 + 1) - ln |x + 1 + sqrt((x + 1)^2 + 1)| + C

Ok, a primeira parte da integral já foi!

Passo 4

Vamos resolver essa aqui agora:

int (3)/(sqrt(x^2 + 2 x + 2)) d x

Vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos na outra, até a substituição u = x + 1 :

int (3)/(sqrt(u^2 + 1)) d u

Chegamos até aqui.

Bom, essa é igual aquela ali de cima que é elementar. Então...

= 3 ln |u + sqrt(u^2 + 1)|

E aí voltamos para a variável x :

= 3 ln |x + 1 + sqrt(( x + 1 )^2 + 1)|

Passo 5

Cansou?

Calma que agora é só a gente juntar tudo o que encontramos...

int (x + 3)/(sqrt(x^2 + 2 x + 2)) d x

= sqrt((x + 1)^2 + 1) - ln |x + 1 + sqrt((x + 1)^2 + 1)| + 3 ln |x + 1 + sqrt((x + 1)^2 + 1)| + C

(Você pode expandir esse quadrado aí pra ficar a raiz igual a do início)

= sqrt(x^2 + 2 x + 2) - ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x + 2)| + 3 ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x + 2)| + C

E agora acabamos! 😉

Resposta

sqrt(x^2 + 2 x + 2) - ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x + 2)| + 3 ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x + 2)| + C

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