Calcule a integral definida abaixo:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 (x))/((1 + 7 t g (x))^((2)/(3))) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 (x))/((1 + 7 t g (x))^((2)/(3))) d x

u = t g ( x ) d u = sec^2 ( x ) d x

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 (x))/((1 + 7 t g (x))^((2)/(3))) d x = int_0^((pi)/(4)) (1)/((1 + 7 u)^((2)/(3))) d u

Passo 3

Efetuando uma nova substituição, temos:

v = 1 + 7 u

d v = 7 d u => (d v)/(7) = d u

int_0^((pi)/(4)) (1)/((1 + 7 u)^((2)/(3))) d u = int_0^((pi)/(4)) (1)/(7 v^((2)/(3))) d v = (1)/(7) int_0^((pi)/(4)) v^(- (2)/(3)) d v

Passo 4

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

(1)/(7) int_0^((pi)/(4)) v^(- (2)/(3)) d v = (1)/(7) ((v^((1)/(3)))/((1)/(3))) ((pi)/(4))/(0)

Passo 5

Substituindo u e v pelas funções que atribuímos respectivamente, temos:

(1)/(7) ((v^((1)/(3)))/((1)/(3))) ((pi)/(4))/(0) = (1)/(7) xx 3 (root(3)(1 + 7 u)) ((pi)/(4))/(0) = (3)/(7) (root(3)(1 + 7 t g (x))) ((pi)/(4))/(0)

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração .Relembrando que de forma genérica a substituição dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Logo, temos que:

(3)/(7) (root(3)(1 + 7 t g (x))) ((pi)/(4))/(0) = (3)/(7) (root(3)(1 + 7 t g ((pi)/(4))) - root(3)(1 + 7 t g (0))) =

= (3)/(7) (root(3)(1 + 7) - root(3)(1)) = (3)/(7) (2 - 1) = (3)/(7)

Resposta

(3)/(7)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral definida. ∫ 0 4 x 1 + 2 x d x
Calcule a integral definida. ∫ 1 2 e 1 / x x 2d x
Avalie a integral definida. ∫ 0 a xa 2 - x 2d x .
Calcule a integral definida. ∫ 0 a xx 2 + a 2d x ,( a0 )
Calcule a integral definida. ∫ 0 π 3s e nθ cos 2 ⁡ θd θ