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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 94

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 (x))/((1 + 7 t g (x))^((2)/(3))) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 (x))/((1 + 7 t g (x))^((2)/(3))) d x

u = t g ( x ) d u = sec^2 ( x ) d x

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 (x))/((1 + 7 t g (x))^((2)/(3))) d x = int_0^((pi)/(4)) (1)/((1 + 7 u)^((2)/(3))) d u

Passo 3

Efetuando uma nova substituição, temos:

v = 1 + 7 u

d v = 7 d u => (d v)/(7) = d u

int_0^((pi)/(4)) (1)/((1 + 7 u)^((2)/(3))) d u = int_0^((pi)/(4)) (1)/(7 v^((2)/(3))) d v = (1)/(7) int_0^((pi)/(4)) v^(- (2)/(3)) d v

Passo 4

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

(1)/(7) int_0^((pi)/(4)) v^(- (2)/(3)) d v = (1)/(7) ((v^((1)/(3)))/((1)/(3))) ((pi)/(4))/(0)

Passo 5

Substituindo u e v pelas funções que atribuímos respectivamente, temos:

(1)/(7) ((v^((1)/(3)))/((1)/(3))) ((pi)/(4))/(0) = (1)/(7) xx 3 (root(3)(1 + 7 u)) ((pi)/(4))/(0) = (3)/(7) (root(3)(1 + 7 t g (x))) ((pi)/(4))/(0)

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração .Relembrando que de forma genérica a substituição dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Logo, temos que:

(3)/(7) (root(3)(1 + 7 t g (x))) ((pi)/(4))/(0) = (3)/(7) (root(3)(1 + 7 t g ((pi)/(4))) - root(3)(1 + 7 t g (0))) =

= (3)/(7) (root(3)(1 + 7) - root(3)(1)) = (3)/(7) (2 - 1) = (3)/(7)

Resposta

(3)/(7)

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Se f for contínua e int_0^4 f (x) d x = 10 , encontre a integral int_0^2 f (2 x) d x .
Se a e b forem número positivos, mostre queint_0^1 x^a (1 - x)^b d x = int_0^1 x^b (1 - x)^a d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ). ∫ xx 2 - 1 3d x
Se f for contínua em [ 0 , π ] , use a substituição u = π - x para demonstrar que ∫ 0 π xf s e nxd x = π 2∫ 0 π f s e nxd x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico um integrando e sua primitiva (tome c = 0 ). ∫ x sin 2 ⁡ ( x 2 ) d x