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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 84

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^((pi)/(4)) cos^2 (4 t - (pi)/(4)) d t

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^((pi)/(4)) cos^2 (4 t - (pi)/(4)) d t

u = 4 t - (pi)/(4) d u = 4 d t => (d u)/(4) = d t

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_0^((pi)/(4)) cos^2 (4 t - (pi)/(4)) d t = int_0^((pi)/(4)) c o s^2 (u) (d u)/(4) = (1)/(4) int_0^((pi)/(4)) cos^2 (u) d u

Passo 3

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

cos^2 (x) = (1 + cos (2 x))/(2)

Assim:

(1)/(4) int_0^((pi)/(4)) cos^2 (u) d u = (1)/(4) int_0^((pi)/(4)) (1 + cos (2 u))/(2) d u

Passo 4

Vamos retirar a constante e aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que :

(1)/(4) int_0^((pi)/(4)) (1 + cos (2 u))/(2) d u = (1)/(4) xx (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) 1 + cos (2 u) d u = (1)/(8) int_0^((pi)/(4)) d u + (1)/(8) int_0^((pi)/(4)) cos (2 u) d u

Passo 5

Vamos agora efetuar a integração e substituir u pela função que atribuímos, temos:

(1)/(8) int_0^((pi)/(4)) d u + (1)/(8) int_0^((pi)/(4)) cos (2 u) d u = (1)/(8) (u) ((pi)/(4))/(0) + (1)/(8) ( (s e n (2 u))/(2) )_0^((pi)/(4)) =

= (1)/(8) (4 t - (pi)/(4)) ((pi)/(4))/(0) + (1)/(16) ( s e n (4 t - (pi)/(4)) )_0^((pi)/(4))

Passo 6

Substituiremos agora os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

= (1)/(8) (4 t - (pi)/(4)) ((pi)/(4))/(0) + (1)/(16) ( s e n (4 t - (pi)/(4)) )_0^((pi)/(4)) = (1)/(8) (pi - (pi)/(4) + (pi)/(4)) + (1)/(16) (s e n (pi - (pi)/(4)) - s e n (- (pi)/(4))) =

= (1)/(8) (pi) + (1)/(16) (s e n ((3 pi)/(4)) - s e n (- (pi)/(4))) = (pi)/(8)

Resposta

(pi)/(8)

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