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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 82

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^((1)/(2)) x^3 (1 + 9 x^4)^(- (3)/(2)) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^((1)/(2)) x^3 (1 + 9 x^4)^(- (3)/(2)) d x

u = 1 + 9 x^4 d u = 36 x^3 d x => (d u)/(36) = x^3 d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_0^((1)/(2)) x^3 (1 + 9 x^4)^(- (3)/(2)) d x = int_0^((1)/(2)) (u^(- (3)/(2)))/(36) d u = (1)/(36) int_0^((1)/(2)) u^(- (3)/(2)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

(1)/(36) int_0^((1)/(2)) u^(- (3)/(2)) d u = (1)/(36) ((u^(- (1)/(2)))/(- (1)/(2)))_0^(1 // 2)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

- (2)/(36) (u^(- (1)/(2))) ((1)/(2))/(0) = - (2)/(36) [(1 + 9 x^4)^(- (1)/(2))] ((1)/(2))/(0) = - (2)/(36) [(1)/((1 + 9 x^4)^((1)/(2)))] ((1)/(2))/(0)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- (2)/(36) [(1)/((1 + 9 x^4)^((1)/(2)))] ((1)/(2))/(0) = - (2)/(36) [(1)/(sqrt(1 + 9 ((1)/(2))^4)) - (1)/(sqrt(1))] = - (2)/(36) ((1)/(sqrt(1 + (9)/(16))) - 1) = - (2)/(36) ((1)/((5)/(4)) - 1) = - (2)/(36) ((4)/(5) - 1) = - (2)/(36) (- (1)/(5)) = (1)/(90)

Resposta

(1)/(90)

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