Calcule a integral.

∫ d x x - 1 x + 2 x - 3

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos pra mais uma integral!

Sempre que tem esses fatores embaixo assim a gente vai tentar usar frações parciais, beleza?

São três fatores lineares, então vai ser assim:

1 x - 1 x + 2 x - 3 = A x - 1 + B x + 2 + C x - 3

Aí a gente tem que achar esses A ,   B   e   C   aí...

Passo 2

Pra isso a gente multiplica os dois lados pelo fator: x - 1 x + 2 x - 3

Aí vamos ter:

1 = A x + 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x + 2 )

1 = A x 2 - x - 6 + B x 2 - 4 x + 3 + C x 2 + x - 2

1 = x 2 A + B + C + x - A - 4 B + C - 6 A + 3 B - 2 C

Bom, pra essa igualdade ser verdadeira, a gente precisa que:

A + B + C = 0 - A - 4 B + C = 0 - 6 A + 3 B - 2 C = 1

Passo 3

Vamos isolar o A na primeira:

A =   - B - C

E substituir na segunda:

B + C - 4 B + C = 0 →   - 3 B + 2 C = 0 → 3 B = 2 C

Voltando na primeira:

A =   - 2 C 3 - C =   - 5 C 3

Substituindo essas duas na terceira, a gente tem:

- 6 - 5 C 3 + 2 C - 2 C = 1

10 C = 1

C = 1 10

E aí temos:

A =   - 1 6       e   B = 1 15

Passo 4

Reescrevendo agora:

1 x - 1 x + 2 x - 3 = - 1 6 ( x - 1 ) + 1 15 ( x + 2 ) + 1 10 ( x - 3 )

Show! Agora é só integrar!

∫ - 1 6 ( x - 1 ) + 1 15 ( x + 2 ) + 1 10 ( x - 3 )   d x

=   - 1 6 ln ⁡ x - 1 + 1 15 ln ⁡ x + 2 + 1 10 ln ⁡ x - 3 + C

E prontinho! 😉

Resposta

  - 1 6 ln ⁡ x - 1 + 1 15 ln ⁡ x + 2 + 1 10 ln ⁡ x - 3 + C

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