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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 63

Calcule a integral.

int (d x)/((x - 1) (x + 2) (x - 3))

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos pra mais uma integral!

Sempre que tem esses fatores embaixo assim a gente vai tentar usar frações parciais, beleza?

São três fatores lineares, então vai ser assim:

(1)/((x - 1) (x + 2) (x - 3)) = (A)/(x - 1) + (B)/(x + 2) + (C)/(x - 3)

Aí a gente tem que achar esses A , B e C aí...

Passo 2

Pra isso a gente multiplica os dois lados pelo fator: (x - 1) (x + 2) (x - 3)

Aí vamos ter:

1 = A (x + 2) (x - 3) + B (x - 1) (x - 3) + C ( x - 1 ) ( x + 2 )

1 = A (x^2 - x - 6) + B (x^2 - 4 x + 3) + C (x^2 + x - 2)

1 = x^2 (A + B + C) + x (- A - 4 B + C) - 6 A + 3 B - 2 C

Bom, pra essa igualdade ser verdadeira, a gente precisa que:

{[[A + B + C = 0],[- A - 4 B + C = 0],[- 6 A + 3 B - 2 C = 1]])

Passo 3

Vamos isolar o A na primeira:

A = - B - C

E substituir na segunda:

B + C - 4 B + C = 0 -> - 3 B + 2 C = 0 -> 3 B = 2 C

Voltando na primeira:

A = - (2 C)/(3) - C = - (5 C)/(3)

Substituindo essas duas na terceira, a gente tem:

- 6 (- (5 C)/(3)) + 2 C - 2 C = 1

10 C = 1

C = (1)/(10)

E aí temos:

A = - (1)/(6) e B = (1)/(15)

Passo 4

Reescrevendo agora:

(1)/((x - 1) (x + 2) (x - 3)) = (- 1)/(6 ( x - 1 )) + (1)/(15 ( x + 2 )) + (1)/(10 ( x - 3 ))

Show! Agora é só integrar!

int (- 1)/(6 ( x - 1 )) + (1)/(15 ( x + 2 )) + (1)/(10 ( x - 3 )) d x

= - (1)/(6) ln |x - 1| + (1)/(15) ln |x + 2| + (1)/(10) ln |x - 3| + C

E prontinho! 😉

Resposta

- (1)/(6) ln |x - 1| + (1)/(15) ln |x + 2| + (1)/(10) ln |x - 3| + C

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