Enunciado

Use as desigualdades (12), (13) e (14) da Seção 7.7 para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.

Exercício 42.

Passo 1

Para encontrarmos a cota superior do erro referente ao ponto médio, usaremos a expressão:

E M = ∫ a b f x d x - M n ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Sabendo que a = - 1 , b = 1 , vamos calcular derivada segunda, para o valor de K 2 :

K 2 = f ' ' x = - 2 ( - 3 x 2 + 1 ) 1 + x 2 3

Sendo o intervalo de [ - 1 , 1 ] , para encontrarmos o valor máximo, fazemos:

K 2 = f ' ' 1 = 1 2

Assim, podemos substituir na expressão:

E M ≤ 2 3 1 2 24 × 10 2 ≈ 0,00 16

Passo 2

Para encontrarmos a cota superior do erro referente a aproximação trapezoidal, usaremos a expressão:

E T = ∫ a b f x d x - T n ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Tendo todos os dados, podemos substituir na expressão:

E T ≤ 2 3 1 2 12 × 10 2 ≈ 0,003

Passo 3

E, por fim, a cota superior do erro referente a regra de simpson, usaremos a expressão:

E S = ∫ a b f x d x - S n ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Sabendo que a = - 1 , b = 1 , vamos calcular derivada segunda, para o valor de K 4 :

K 4 = f ' ' ' ' x = - 48 ( - 3 x 2 + 5 ) 1 + x 2 5

Sendo o intervalo de [ - 1 , 1 ] , para encontrarmos o valor máximo, fazemos:

K 4 = f ' ' ' ' 1 = - 3

Assim, podemos substituir na expressão:

E S ≤ 2 5 - 3 180 × 20 4 ≈ - 3,333 × 10 - 6

Prontinho!!

Resposta

E M ≈ 0,00 16

E T ≈ 0,003

E S ≈ - 3,333 × 10 - 6

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Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ e x 4 + e 2 xd x
Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ cosh ⁡ x xd x
Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ x + 1 c o t g x 2 + 2 xd x
Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ cos 5 ⁡ 5 x s e n 5 xd x
Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ sec ⁡ s e n θ t g s e n θ cos ⁡ θ d θ