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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 64

Calcule a integral.

int_0^((1)/(3)) (d x)/((4 - 9 x^2)^2)

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui a gente vai começar reescrevendo essa integral. Vamos deixar de lado esses intervalos por enquanto e resolver a integral indefinida primeiro.

Usando do nosso amiguinho produto notável, a gente faz:

int (d x)/((4 - 9 x^2)^2) = int (d x)/(((2 - 3 x) (2 + 3 x))^2)

= int (d x)/((2 - 3 x)^2 (2 + 3 x)^2)

Essa aqui agora a gente vai fazer por frações parciais.

Passo 2

Temos termos lineares se repetindo, então nossas frações parciais são da forma:

(1)/((2 - 3 x)^2 (2 + 3 x)^2) = (A)/(2 - 3 x) + (B)/((2 - 3 x)^2) + (C)/(2 + 3 x) + (D)/((2 + 3 x)^2)

Aí a gente multiplica os dois lados por: (2 - 3 x)^2 (2 + 3 x)^2

1 = A (2 - 3 x) (2 + 3 x)^2 + B (2 + 3 x)^2 + C (2 - 3 x)^2 (2 + 3 x) + D (2 - 3 x)^2

1 = A (- 27 x^3 - 18 x^2 + 12 x + 8) + B (9 x^2 + 12 x + 4) + C (27 x^3 - 18 x^2 - 12 x + 8) + D ( 9 x^2 - 12 x + 4 )

1 = x^3 (- 27 A + 27 C) + x^2 (- 18 A + 9 B - 18 C + 9 D) + x (12 A + 12 B - 12 C - 12 D) + 8 A + 4 B + 8 C + 4 D

Passo 3

Pra essa igualdade ser verdadeira, a gente precisa que:

{[[- 27 A + 27 C = 0],[- 18 A + 9 B - 18 C + 9 D = 0],[12 A + 12 B - 12 C - 12 D = 0],[8 A + 4 B + 8 C + 4 D = 1]])

Da primeira a gente tira que - 27 A = - 27 C -> A = C .

E aí jogando na terceira, a gente tem:

12 A + 12 B - 12 A - 12 D = 0

B = D

E juntando isso na segunda e última, encontramos:

A = C = (1)/(32)

B = D = (1)/(16)

Passo 4

Agora a gente remonta nossa integral com essas frações parciais:

int (d x)/((2 - 3 x)^2 (2 + 3 x)^2) = int (1)/(32 ( 2 - 3 x )) + (1)/(16 (2 - 3 x)^2) + (1)/(32 ( 2 + 3 x )) + (1)/(16 (2 + 3 x)^2) d x

Vamos resolver cada uma separadamente:

  • int (1)/(32 (2 - 3 x)) d x

    • = (1)/(32) int (1)/(2 - 3 x) d x

    u = 2 - 3 x -> d u = - 3 d x -> - (d u)/(3) = d x

    (1)/(32) (- (1)/(3)) int (1)/(u) d u = - (1)/(96) ln u = - (1)/(96) ln ( 2 - 3 x )

  • int (1)/(16 (2 - 3 x)^2) d x

    • = (1)/(16) int (1)/((2 - 3 x)^2) d x

    u = 2 - 3 x -> d u = - 3 d x -> - (d u)/(3) = d x

    = (1)/(16) (- (1)/(3)) int (1)/(u^2) d u = - (1)/(48) (- (1)/(u)) = (1)/(48 u) = (1)/(48 ( 2 - 3 x ))

  • int (1)/(32 (2 + 3 x)) d x

    • = (1)/(96) ln ( 2 + 3 x )

  • int (1)/(16 (2 - 3 x)^2) d x

= - (1)/(48 ( 2 + 3 x ))

Passo 5

Ufaaa... agora só falta juntar tudo e aplicar os intervalos...

int_0^((1)/(3)) (d x)/((4 - 9 x^2)^2) = [- (1)/(96) ln (2 - 3 x) + (1)/(48 (2 - 3 x)) + (1)/(96) ln (2 + 3 x) - (1)/(48 (2 + 3 x))]_0^(1 // 3)

Aplicando os intervalos:

- (1)/(96) ( ln 2 - 1 ) + (1)/(48 (2 - 1)) + (1)/(96) ln (2 + 1) - (1)/(48 (2 + 1)) - [ - (1)/(96) ln (2) + (1)/(48 (2)) + (1)/(96) ln (2) - (1)/(48 ( 2 ))

= - (1)/(96) ln 1 + (1)/(48) + (1)/(96) ln 1 - (1)/(48 (3)) + (1)/(96) ln 2 - (1)/(96) - (1)/(96) ln 2 + (1)/(96)

= (1)/(48) - (1)/(144)

= (2)/(144) = (1)/(72)

E finalmente acabamos!! 😉

Resposta

(1)/(72)

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