Calcule a integral.

∫ 0 1 3 d x 4 - 9 x 2 2

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui a gente vai começar reescrevendo essa integral. Vamos deixar de lado esses intervalos por enquanto e resolver a integral indefinida primeiro.

Usando do nosso amiguinho produto notável, a gente faz:

∫ d x 4 - 9 x 2 2 = ∫ d x 2 - 3 x 2 + 3 x 2

= ∫ d x 2 - 3 x 2 2 + 3 x 2

Essa aqui agora a gente vai fazer por frações parciais.

Passo 2

Temos termos lineares se repetindo, então nossas frações parciais são da forma:

1 2 - 3 x 2 2 + 3 x 2 = A 2 - 3 x + B 2 - 3 x 2 + C 2 + 3 x + D 2 + 3 x 2

Aí a gente multiplica os dois lados por: 2 - 3 x 2 2 + 3 x 2

1 = A 2 - 3 x 2 + 3 x 2 + B 2 + 3 x 2 + C 2 - 3 x 2 2 + 3 x + D 2 - 3 x 2

1 = A - 27 x 3 - 18 x 2 + 12 x + 8 + B 9 x 2 + 12 x + 4 + C 27 x 3 - 18 x 2 - 12 x + 8 + D ( 9 x 2 - 12 x + 4 )

1 = x 3 - 27 A + 27 C + x 2 - 18 A + 9 B - 18 C + 9 D + x 12 A + 12 B - 12 C - 12 D + 8 A + 4 B + 8 C + 4 D

Passo 3

Pra essa igualdade ser verdadeira, a gente precisa que:

- 27 A + 27 C = 0 - 18 A + 9 B - 18 C + 9 D = 0 12 A + 12 B - 12 C - 12 D = 0 8 A + 4 B + 8 C + 4 D = 1

Da primeira a gente tira que - 27 A =   - 27 C → A = C .

E aí jogando na terceira, a gente tem:

12 A + 12 B - 12 A - 12 D = 0

B = D

E juntando isso na segunda e última, encontramos:

A = C = 1 32

B = D = 1 16

Passo 4

Agora a gente remonta nossa integral com essas frações parciais:

∫ d x 2 - 3 x 2 2 + 3 x 2 = ∫ 1 32 ( 2 - 3 x ) + 1 16 2 - 3 x 2 + 1 32 ( 2 + 3 x ) + 1 16 2 + 3 x 2   d x

Vamos resolver cada uma separadamente:

  • ∫ 1 32 2 - 3 x   d x
  • = 1 32 ∫ 1 2 - 3 x   d x

    u = 2 - 3 x → d u =   - 3 d x → - d u 3 = d x

    1 32 - 1 3 ∫ 1 u   d u =   - 1 96 ln ⁡ u =   - 1 96 ln ⁡ ( 2 - 3 x )

  • ∫ 1 16 2 - 3 x 2   d x
  • = 1 16 ∫ 1 2 - 3 x 2   d x

    u = 2 - 3 x → d u =   - 3   d x → - d u 3 = d x

    = 1 16 - 1 3 ∫ 1 u 2   d u =   - 1 48 - 1 u = 1 48 u = 1 48 ( 2 - 3 x )

  • ∫ 1 32 2 + 3 x d x
  • = 1 96 ln ⁡ ( 2 + 3 x )

  • ∫ 1 16 2 - 3 x 2 d x  

= - 1 48 ( 2 + 3 x )  

Passo 5

Ufaaa... agora só falta juntar tudo e aplicar os intervalos...

∫ 0 1 3 d x 4 - 9 x 2 2 = - 1 96 ln ⁡ 2 - 3 x + 1 48 2 - 3 x + 1 96 ln ⁡ 2 + 3 x - 1 48 2 + 3 x 0 1 / 3

Aplicando os intervalos:

- 1 96 ( ln ⁡ 2 - 1 ) + 1 48 2 - 1 + 1 96 ln ⁡ 2 + 1 - 1 48 2 + 1 - [ - 1 96 ln ⁡ 2 + 1 48 2 + 1 96 ln ⁡ 2 - 1 48 ( 2 )

=   - 1 96 ln ⁡ 1 + 1 48 + 1 96 ln ⁡ 1 - 1 48 3 + 1 96 ln ⁡ 2 - 1 96 - 1 96 ln ⁡ 2 + 1 96

= 1 48 - 1 144

= 2 144 = 1 72

E finalmente acabamos!! 😉

Resposta

1 72

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