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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 57

Calcule a integral.

int_0^(pi // 4) tan^7 theta d theta

Passo 1

Começamos reescrevendo a integral:

int_0^(pi // 4) tan^6 theta tan theta d theta

O tan^6 theta pode ficar como (tan^2 theta)^3 , logo:

int_0^(pi // 4) (tan^2 theta)^3 tan theta d theta

Usamos uma identidade para a tangente tan^2 theta = sec^2 theta - 1 :

int_0^(pi // 4) (sec^2 theta - 1)^3 tan theta d theta

Passo 2

Usamos o método da substituição em que u = sec theta e mudamos o valor dos intervalos:

int_1^(sqrt(2)) ((u^2 - 1)^3)/(u) d u = int_1^(sqrt(2)) - (1)/(u) + 3 u - 3 u^3 + u^5 d u

Resolvendo essa integral, temos:

int_1^(sqrt(2)) - (1)/(u) + 3 u - 3 u^3 + u^5 d u = (1)/(2) ln 2 + (3)/(2) - (9)/(4) + (7)/(6)

Prontinho!!

Resposta

(1)/(2) ln 2 + (3)/(2) - (9)/(4) + (7)/(6)

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Calcule a integral19.int_0^(pi // 3) sin^4 3 x cos^3 3 x d x
Calcule a integral18.int_0^(pi // 2) sin^2 (x)/(2) cos^2 (x)/(2) d x
Calcule a integral31.int tan 4 x sec^4 4 x d x
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A integral ∫ t g 4 x sec 5 ⁡ x d x é equivalente a uma cujo integrando é um polinômio em sec ⁡ x .
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Para calcular ∫ s e n 5 x cos 8 ⁡ x d x , use a identidade trigonométrica s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x e a substituição u = cos ⁡ x .