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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 21

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x^4 - 3 x^3 + 3 x^2 - x)

Passo 1

A gente vai começar fatorando essa lindeza...

(1)/(x^4 - 3 x^3 + 3 x^2 - x) = (1)/(x (x^3 - 3 x^2 + 3 x - 1)) = (1)/(x (x - 1)^3)

Beleza, a gente tem essa integral aqui então:

int (1)/(x (x - 1)^3) d x

Passo 2

Na fatoração tem fatores lineares que se repetem. Então a gente tem que fazer frações parciais assim:

(1)/(x (x - 1)^3) = (A)/(x) + (B)/(x - 1) + (C)/((x - 1)^2) + (D)/((x - 1)^3)

(Calma, vai dar certo!)

A gente tem que achar A , B , C e D agora, vamos desenvolver:

(1)/(x (x - 1)^3) = (A (x - 1)^3)/(x) + (B (x) (x - 1)^2)/(x - 1) + (C x ( x - 1 ))/((x - 1)^2) + (D x ( 1 ))/((x - 1)^3)

Agora a gente corta os denominadores...

1 = A (x - 1)^3 + B x (x - 1)^2 + C x^2 - C x + D x

1 = A (x^3 - 3 x^2 + 3 x - 1) + B x (x^2 - 2 x + 1) + C x^2 - C x + D x

1 = x^3 (A + B) + x^2 (- 3 A - 2 B + C) + x (3 A + B - C + D)

Aí pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + B = 0

- 3 A - 2 B + C = 0

3 A + B + C = 0

3 A + B - C + D = 0

Ou seja, A = - 1 ; B = 1 ; C = - 1 e D = 1 .

Passo 3

Beleza, vamos remontar nossa integral então:

(1)/(x (x - 1)^3) = (- 1)/(x) + (1)/(x - 1) + (- 1)/((x - 1)^2) + (1)/((x - 1)^3)

I = int - (1)/(x) + (1)/(x - 1) - (1)/((x - 1)^2) + (1)/((x - 1)^3) d x

I = - int (1)/(x) d x + int (1)/(x - 1) d x - int (1)/((x - 1)^2) + int (1)/((x - 1)^3) d x

Resolvendo cada uma, a gente encontra:

- int (1)/(x) d x = - ln | x |

int (1)/(x - 1) d x = ln |x - 1|

- int (1)/((x - 1)^2) d x = - (- (1)/(x - 1)) = (1)/(x - 1)

int (1)/((x - 1)^3) = - (1)/(2 (x - 1)^2)

Ótimo! Agora é só juntar tudo e somar a constante😉

I = - ln |x| + ln |x - 1| + (1)/(x - 1) - (1)/(2 (x - 1)^2) + C

Pronto😉

Resposta

I = - ln |x| + ln |x - 1| + (1)/(x - 1) - (1)/(2 (x - 1)^2) + C

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