Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 21

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x^4 - 3 x^3 + 3 x^2 - x)

Passo 1

A gente vai começar fatorando essa lindeza...

(1)/(x^4 - 3 x^3 + 3 x^2 - x) = (1)/(x (x^3 - 3 x^2 + 3 x - 1)) = (1)/(x (x - 1)^3)

Beleza, a gente tem essa integral aqui então:

int (1)/(x (x - 1)^3) d x

Passo 2

Na fatoração tem fatores lineares que se repetem. Então a gente tem que fazer frações parciais assim:

(1)/(x (x - 1)^3) = (A)/(x) + (B)/(x - 1) + (C)/((x - 1)^2) + (D)/((x - 1)^3)

(Calma, vai dar certo!)

A gente tem que achar A , B , C e D agora, vamos desenvolver:

(1)/(x (x - 1)^3) = (A (x - 1)^3)/(x) + (B (x) (x - 1)^2)/(x - 1) + (C x ( x - 1 ))/((x - 1)^2) + (D x ( 1 ))/((x - 1)^3)

Agora a gente corta os denominadores...

1 = A (x - 1)^3 + B x (x - 1)^2 + C x^2 - C x + D x

1 = A (x^3 - 3 x^2 + 3 x - 1) + B x (x^2 - 2 x + 1) + C x^2 - C x + D x

1 = x^3 (A + B) + x^2 (- 3 A - 2 B + C) + x (3 A + B - C + D)

Aí pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + B = 0

- 3 A - 2 B + C = 0

3 A + B + C = 0

3 A + B - C + D = 0

Ou seja, A = - 1 ; B = 1 ; C = - 1 e D = 1 .

Passo 3

Beleza, vamos remontar nossa integral então:

(1)/(x (x - 1)^3) = (- 1)/(x) + (1)/(x - 1) + (- 1)/((x - 1)^2) + (1)/((x - 1)^3)

I = int - (1)/(x) + (1)/(x - 1) - (1)/((x - 1)^2) + (1)/((x - 1)^3) d x

I = - int (1)/(x) d x + int (1)/(x - 1) d x - int (1)/((x - 1)^2) + int (1)/((x - 1)^3) d x

Resolvendo cada uma, a gente encontra:

- int (1)/(x) d x = - ln | x |

int (1)/(x - 1) d x = ln |x - 1|

- int (1)/((x - 1)^2) d x = - (- (1)/(x - 1)) = (1)/(x - 1)

int (1)/((x - 1)^3) = - (1)/(2 (x - 1)^2)

Ótimo! Agora é só juntar tudo e somar a constante😉

I = - ln |x| + ln |x - 1| + (1)/(x - 1) - (1)/(2 (x - 1)^2) + C

Pronto😉

Resposta

I = - ln |x| + ln |x - 1| + (1)/(x - 1) - (1)/(2 (x - 1)^2) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use as frações parciais para deduzir a fórmula de integração: ∫ 1 a 2 - x 2 d x = 1 2 a ln ⁡ a + x a - x + C
Suponha que P x seja um polinômio cúbico. Enuncie uma forma geral da decomposição em frações parciais de: f x = P x x + 5 4 E enuncie as implicações dessa decomposição para o cálculo da integral ∫ f x
39-42. Calcule a integral fazendo a substituição que converte o integrando em uma função racional.41. ∫ e 3 x e 2 x + 4 d x
Encontre a área da região sob a curva y = 1 1 + e x acima do intervalo - ln ⁡ 5 , ln ⁡ 5 . Sugestão: Faça uma substituição que converta o integrando em uma função racional.
Considere as funções: f x = 1 x 2 - 4eg x = x x 2 - 4 Cada uma das integrais pode ser calculada usando frações parciais e pelo menos uma outra técnica de integração. Demonstre duas técnicas diferentes