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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 24

Verificar a fórmula int (d u)/(a^2 - u^2) = (1)/(a) ln (|u + a|)/(|u - a|) + C .

Passo 1

Primeiro a gente pode fazer:

int (d u)/(a^2 - u^2) = - int (d u)/(u^2 - a^2)

Bom, pra a gente verificar é “só” a gente resolver a integral em termo de u .

A gente pode reescrever ela assim:

int (d u)/((u - a) (u + a))

Aí a gente vai usar frações parciais. Nesse caso tem dois fatores lineares, então a gente vai usar o caso mais basicão:

(1)/((u - a) (u + a)) = (A)/(u - a) + (B)/(u + a)

Vamos achar esses A e B agora...

Passo 2

Desenvolvendo, a gente fica com:

(1)/(( u - a ) (u + a)) = (A ( u + a ))/(u - a) + (B ( u - a ))/(u + a)

Agora a gente pode cortar os denominadores...

1 = A (u + a) + B ( u - a )

1 = A u + A a + B u - B a

1 = u (A + B) + a ( A - B )

A nossa incógnita aqui é u (é só ver que na integral é d u ) , então pra isso ser igual, a gente precisa que:

{[[A + B = 0],[a (A - B) = 1]])

A gente vê então que A = - B , e aí:

a (A - B) = a (A + A) = 1

2 A = (1)/(a) -> A = (1)/(2 a)

E o B = - (1)/(2 a) então😉

Passo 3

Vamos remontar a integral agora:

- int ((1)/(2 a))/(( u - a )) - ((1)/(2 a))/(u + a) d u

Separamos em duas...

- (1)/(2 a) int (1)/(u - a) d u + (1)/(2 a) int (1)/(u + a) d u

Agora é integral direta:

- (1)/(2 a) (ln (u - a)) + (1)/(2 a) (ln (u + a)) + C

Pela regra do logaritmo, a gente pode fazer isso aqui:

(1)/(2 a) ln (| u + a |)/(| u - a |) + C

Que é exatamente o que queríamos😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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