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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 29

Investigar as integrais impróprias.

  1. int_(10)^(oo) (d x)/(x^2 (x - 5))
  2. int_0^2 (d x)/(x^2 (x - 5))
  3. int_5^(oo) (d x)/(x^2 (x - 5))

Passo 1

Vamos lá, investigar integral imprópria é dizer se ela converge ou diverge.

Vamos tentar calcular então pra a gente descobrir.

Primeiro, a fração é:

(1)/(x^2 (x - 5))

Pra fazer frações parciais, a gente precisa:

(1)/(x^2 (x - 5)) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x - 5)

Passo 2

Vai ficar assim:

(1)/(x^2 (x - 5)) = (A x ( x - 5 ))/(x) + (B ( x - 5 ))/(x^2) + (C x^2)/(x - 5)

Cortamos os denominadores...

1 = A x (x - 2) + B (x - 5) + C x^2

1 = A x^2 - 2 A x + B x - 5 B + C x^2

1 = x^2 (A + C) + x (- 2 A + B) - 5 B

Pra ser igual, a gente precisa que:

{[[A + C = 0],[- 2 A + B = 0],[- 5 B = 1]])

Daqui a gente acha B = - (1)/(5) ; A = - (1)/(25) ; C = (1)/(25) .

Passo 3

Vamos remontar a integral:

(1)/(x^2 (x - 5)) = - (1)/(25 x) - (1)/(5 x^2) + (1)/(25 (x - 5))

int (1)/(25 x) - (1)/(5 x^2) + (1)/(25 (x - 5)) d x

Aí integrando fica:

- (1)/(25) ln x + (1)/(5 x) + (1)/(25) ln |x - 5|

Vamos ver se isso converge ou diverge para o caso:

underset(b -> oo)(lim) [- (1)/(25) ln x + (1)/(5 x) + (1)/(25) ln |x - 5|]_(10)^b

underset(b -> oo)(l i m) - (1)/(25) ln b + (1)/(5 b) + (1)/(25) ln |b - 5| + (1)/(25) ln 10 - (1)/(50) - (1)/(25) ln 5

= (1)/(25) ln ((10)/(5)) - (1)/(50)

= (1)/(25) ln 2 - (1)/(50)

Ou seja, a primeira integral converge!

Passo 4

Vamos pra segunda. É a mesma integral, só muda os intervalos. Então vamos pegar o resultado ali de cima e tentar calcular pra esses intervalos novos...

[- (1)/(25) ln x + (1)/(5 x) + (1)/(25) ln |x - 5|]_0^2

= underset(b -> 0^+)(lim) [(1)/(5 x) + (1)/(25) ln (|x - 5|)/(| x |)]_b^2

= underset(b -> 0^+)(lim) (1)/(10) + (1)/(25) ln (3)/(2) - (1)/(5 b) - (1)/(25) ln (| b - 5 |)/(| b |)

= + oo

Ou seja, a segunda integral diverge!

Passo 5

A terceira agora. Vamos ver a mesma integral, com outro intervalo...

[(1)/(5 x) + (1)/(25) ln (|x - 5|)/(x)]_5^(oo)

underset(b -> oo)(lim) [(1)/(5 x) + (1)/(25) ln (|x - 5|)/(x)]_5^b

= underset(b -> oo)(lim) (1)/(5 b) + (1)/(25) ln (|b - 5|)/(b) - (1)/(25) - (1)/(25) ln (0)/(5)

Não existe ln 0 e (1)/(5 b) + (1)/(25) ln (|b - 5|)/(b) com x tendendo a zero vai resultar em + oo , ou seja, a terceira integral diverge!

Acabamos por aqui (Ufa!) 😉

Resposta

  1. Converge.
  2. Diverge.
  3. Diverge.
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