Investigar as integrais impróprias.

  1. ∫ 10 ∞ d x x 2 x - 5
  2. ∫ 0 2 d x x 2 x - 5
  3. ∫ 5 ∞ d x x 2 x - 5

Passo 1

Vamos lá, investigar integral imprópria é dizer se ela converge ou diverge.

Vamos tentar calcular então pra a gente descobrir.

Primeiro, a fração é:

1 x 2 x - 5

Pra fazer frações parciais, a gente precisa:

1 x 2 x - 5 = A x + B x 2 + C x - 5

Passo 2

Vai ficar assim:

1 x 2 x - 5 = A x ( x - 5 ) x + B ( x - 5 ) x 2 + C x 2 x - 5

Cortamos os denominadores...

1 = A x x - 2 + B x - 5 + C x 2

1 = A x 2 - 2 A x + B x - 5 B + C x 2

1 = x 2 A + C + x - 2 A + B - 5 B

Pra ser igual, a gente precisa que:

A + C = 0 - 2 A + B = 0 - 5 B = 1

Daqui a gente acha B = - 1 5 ; A = - 1 25 ; C = 1 25 .

Passo 3

Vamos remontar a integral:

1 x 2 x - 5 = - 1 25 x - 1 5 x 2 + 1 25 x - 5

∫ 1 25 x - 1 5 x 2 + 1 25 x - 5 d x

Aí integrando fica:

- 1 25 ln ⁡ x + 1 5 x + 1 25 ln ⁡ x - 5

Vamos ver se isso converge ou diverge para o caso:

lim b → ∞ ⁡ - 1 25 ln ⁡ x + 1 5 x + 1 25 ln ⁡ x - 5 10 b

l i m b → ∞ - 1 25 ln ⁡ b + 1 5 b + 1 25 ln ⁡ b - 5 + 1 25 ln ⁡ 10 - 1 50 - 1 25 ln ⁡ 5

= 1 25 ln ⁡ 10 5 - 1 50

= 1 25 ln ⁡ 2 - 1 50

Ou seja, a primeira integral converge!

Passo 4

Vamos pra segunda. É a mesma integral, só muda os intervalos. Então vamos pegar o resultado ali de cima e tentar calcular pra esses intervalos novos...

- 1 25 ln ⁡ x + 1 5 x + 1 25 ln ⁡ x - 5 0 2

=   lim b → 0 + ⁡ 1 5 x + 1 25 ln ⁡ x - 5 | x | b 2

=   lim b → 0 + ⁡ 1 10 + 1 25 ln ⁡ 3 2 - 1 5 b - 1 25 ln ⁡ | b - 5 | | b |

= + ∞

Ou seja, a segunda integral diverge!

Passo 5

A terceira agora. Vamos ver a mesma integral, com outro intervalo...

1 5 x + 1 25 ln ⁡ x - 5 x 5 ∞

lim b → ∞ ⁡ 1 5 x + 1 25 ln ⁡ x - 5 x 5 b

=   lim b → ∞ ⁡ 1 5 b + 1 25 ln ⁡ b - 5 b - 1 25 - 1 25 ln ⁡ 0 5

Não existe ln ⁡ 0 e 1 5 b + 1 25 ln ⁡ b - 5 b com x tendendo a zero vai resultar em + ∞ , ou seja, a terceira integral diverge!

Acabamos por aqui (Ufa!) 😉

Resposta

  1. Converge.
  2. Diverge.
  3. Diverge.
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