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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 23

Calcule a integral indefinida.

int (x^2 + 2 x - 1)/((x - 1)^2 (x^2 + 1)) d x

Passo 1

Nesse aqui a gente tem um termo linear repetindo e um termo quadrático irredutível. Aí nesse caso a gente vai usar frações parciais dessa forma aqui:

(x^2 + 2 x - 1)/((x - 1)^2 (x^2 + 1)) = (A)/((x - 1)) + (B)/((x - 1)^2) + (C x + D)/(x^2 + 1)

Agora a gente tem que achar os valores de A , B , C e D .

Passo 2

Vamos desenvolver:

(x^2 + 2 x - 1)/((x - 1)^2 (x^2 + 1)) = (A ( x - 1 ) ( x^2 + 1 ))/((x - 1)) + (B ( x^2 + 1 ))/((x - 1)^2) + ((C x + D) (x - 1)^2)/(x^2 + 1)

Agora a gente pode eliminar os denominadores...

x^2 + 2 x - 1 = A (x - 1) (x^2 + 1) + B (x^2 + 1) + (C x + D) (x - 1)^2

x^2 + 2 x - 1 = A (x^3 + x - x^2 - 1) + B x^2 + B + C x^3 - 2 C x^2 + C x + D x^2 - 2 D x + D

x^2 + 2 x - 1 = x^3 (A + C) + x^2 (- A + B - 2 C + D) + x (A + C - 2 D) - A + B + D

E pra isso ser igual, a gente precisa que:

{[[A + C = 0],[- A + B - 2 C + D = 1],[A + C - 2 D = 2],[- A + B + D = - 1]])

Aí resolvendo isso a gente encontra:

A = 1 , B = 1 , C = - 1 e D = - 1

Passo 3

Beleza, agora a gente remonta nossa integral:

(1)/((x - 1)) + (1)/((x - 1)^2) + (- x - 1)/(x^2 + 1)

int (1)/(x - 1) + (1)/((x - 1)^2) + (- x - 1)/(x^2 + 1) d x

Vamos separar isso em 4 integrais pra ficar mais fácil:

int (1)/(x - 1) d x + int (1)/((x - 1)^2) d x - int (x)/(x^2 + 1) d x - int (1)/(x^2 + 1) d x

Passo 4

Resolvemos cada uma agora:

  • int (1)/(x - 1) d x = ln |x - 1|
  • int (1)/((x - 1)^2) d x = - (1)/(x - 1)
  • int (x)/(x^2 + 1) d x -> u = x^2 + 1 -> d u = 2 x d x = (1)/(2) int (d u)/(u) = (1)/(2) ln u = (1)/(2) ln ( x^2 + 1 )
  • int (1)/(x^2 + 1) d x = a r c t g x

Ótimo! Agora é só juntar tudo e somar a constante😉

I = ln | x - 1 | - (1)/(x - 1) - (1)/(2) ln (x^2 + 1) - a r c t g x + C

Pronto😉

Resposta

I = ln | x - 1 | - (1)/(x - 1) - (1)/(2) ln (x^2 + 1) - a r c t g x + C

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