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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 18

Calcule a integral.

int (3 x^3)/(sqrt(x^2 - 25)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (3 x^3)/(sqrt(x^2 - 25)) d x

Vamos chamar:

x = 5 sec theta

d x = 5 sec theta tan theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (3 ( 1 25 sec^3 theta ) ( 5 sec theta * tan theta ))/(sqrt(( 5 sec^2 theta )^2 - 25)) d theta

= int (3 75 sec^3 theta (5 sec theta * tan theta))/(sqrt(25 sec^2 theta - 25)) d theta

= int (375 sec^3 theta ( 5 sec theta * tan theta ))/(sqrt(25 (sec^2 theta - 1))) d theta

= 3 75 int (5 sec^4 theta * tan theta)/(5 sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

= 3 75 int (sec^4 theta * tan theta)/(sqrt(tan^2 theta)) d theta

= 3 75 int (sec^4 theta * tan theta)/(tan theta) d theta

= 3 75 int sec^4 theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x . Lembrando que sec^2 theta = 1 + tan^2 theta :

3 75 int ( 1 + tan^2 theta ) sec^2 theta d theta

Fazendo a substituição u = tan theta -> d u = sec^2 theta d theta :

375 int 1 + u^2 d u = 375 (u + (u^3)/(3)) + C

Voltando para o theta :

375 (u + (u^3)/(3)) + C = 375 (tan theta + (tan^3 theta)/(3)) + C

Aí então, voltamos para x :

375 ((sqrt(x^2 - 25))/(5) + (1)/(3) ((sqrt(x^2 - 25))/(5))^3) + C =

= 375 ((sqrt(x^2 - 25))/(5) + (1)/(3 75) (x^2 - 25)^(3 // 2)) + C =

= 75 sqrt(x^2 - 25) + (x^2 - 25)^(3 // 2) + C

Resposta

= 75 sqrt(x^2 - 25) + (x^2 - 25)^(3 // 2) + C

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