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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 17

Calcule a integral.

int (1)/((4 x^2 - 9)^(3 // 2)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (1)/((4 x^2 - 9)^(3 // 2)) d x

Vamos chamar:

x = (3)/(2) sec theta

d x = (3)/(2) sec theta tan theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

(3)/(2) int (sec theta * tan theta)/((9 sec^2 theta - 9)^(3 // 2)) d theta

= (3)/(2) int (sec theta * tan theta)/((9 sec^2 theta - 9)^(3 // 2)) d theta

= (3)/(2) int (sec theta * tan theta)/((9 (sec^2 theta - 1))^(3 // 2)) d theta

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

(3)/(2) int (sec theta * tan theta)/(27 (tan^2 theta)^(3 // 2)) d theta

= (1)/(18) int (sec theta * tan theta)/(tan^3 theta) d theta

= (1)/(18) int (sec theta)/(tan^2 theta) d theta

= (1)/(18) int (cos^2 theta)/(cos theta * sin^2 theta) d theta

= (1)/(18) int (cos theta)/(sin^2 theta) d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(1)/(18) int (cos theta)/(sin^2 theta) d theta

Pra resolvermos usamos substituição, bem assim:

t = sin theta

d t = cos theta d theta

E ficamos com:

(1)/(18) int (1)/(t^2) d t = (1)/(18) int t^(- 2) d t

= (1)/(18) [(t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)] + C

= (1)/(18) [- (1)/(t)] + C

Agora voltamos para theta :

(1)/(18) [- (1)/(sin theta)] + C

Aí então, voltamos para x :

(1)/(18) [(- 2 x)/(sqrt(4 x^2 - 9))] + C

Resposta

(1)/(18) [(- 2 x)/(sqrt(4 x^2 - 9))] + C

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