Calcule a integral.

∫ 1 4 x 2 - 9 3 / 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 1 4 x 2 - 9 3 / 2 d x

Vamos chamar:

x = 3 2 sec ⁡ θ

d x = 3 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

3 2 ∫ sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9 3 / 2 d θ

= 3 2 ∫ sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9 3 / 2 d θ

= 3 2 ∫ sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 1 3 / 2 d θ

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

3 2 ∫ sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ 27 tan 2 ⁡ θ 3 / 2 d θ

= 1 18 ∫ sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ tan 3 ⁡ θ d θ

= 1 18 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

= 1 18 ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ sin 2 ⁡ θ d θ

= 1 18 ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

1 18 ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Pra resolvermos usamos substituição, bem assim:

t = sin ⁡ θ

d t = cos ⁡ θ d θ

E ficamos com:

1 18 ∫ 1 t 2 d t = 1 18 ∫ t - 2 d t

= 1 18 t - 2 + 1 - 2 + 1 + C

= 1 18 - 1 t + C

Agora voltamos para θ :

1 18 - 1 sin ⁡ θ + C

Aí então, voltamos para x :

1 18 - 2 x 4 x 2 - 9 + C

Resposta

1 18 - 2 x 4 x 2 - 9 + C

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