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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 14

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ ln ⁡ a x + b a x + b   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ ( a x + b ) ;

d u = a a x + b   d x ;

d v = a x + b - 1 2   d x ;

v = ∫ a x + b - 1 2   d x = 1 a ⋅ a x + b 1 2 1 2 = 2 a a x + b .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = ln ⁡ ( a x + b ) ⋅ 2 a a x + b - ∫ 2 a a x + b ⋅ a a x + b   d x

∫ u d v = 2 a a x + b ⋅ ln ⁡ a x + b - 2 ∫ a x + b - 1 2   d x

∫ u d v = 2 a a x + b ⋅ ln ⁡ a x + b - 4 a a x + b

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

2 a a x + b ⋅ ln ⁡ a x + b - 4 a a x + b + c

Resposta

2 a a x + b ⋅ ln ⁡ a x + b - 4 a a x + b + c

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