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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 23

Calcule a integral.

int_1^2 (ln x)/(x^2) d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos usar Integração por Partes:

int u d v = u v - int v d u

Vamos fazer então u = ln x e d v = (1)/(x^2) d x :

d u = (1)/(x) d x e v = - (1)/(x)

Vamos substituir agora:

int (ln x)/(x^2) d x = - (1)/(x) ln x - int - (1)/(x) * (1)/(x) d x = - (1)/(x) ln x - int - (1)/(x^2) d x = - (1)/(x) ln x + int x^(- 2) d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Assim vamos ficar com:

int x^(- 2) d x = (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (x^(- 1))/(- 1) + C = - (1)/(x) + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

int (ln x)/(x^2) d x = - (1)/(x) ln x + int x^(- 2) d x = - (1)/(x) ln x - (1)/(x) + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_1^2 (ln x)/(x^2) d x = (- (1)/(x) ln x - (1)/(x))_1^2 = - (1)/(2) ln 2 - (1)/(2) - (- (1)/(1) ln 1 - (1)/(1)) = - (1)/(2) ln 2 + (1)/(2)

Resposta

int_1^2 (ln x)/(x^2) d x = - (1)/(2) ln 2 + (1)/(2)

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