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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 17

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ a r c t g   a x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = a r c t g   a x ;

d u = a 1 + a 2 x 2 d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = a r c t g   a x ⋅ x - ∫ x ⋅ a 1 + a 2 x 2 d x

Vamos resolver a integral ∫ x ⋅ a 1 + a 2 x 2 d x .

Vamos fazer a substituição k = a 2 x 2 .

Então:

d k = 2 a 2 x d x

d k = 2 a ( a x d x )

d k 2 a = a x d x

Substitutindo:

∫ x ⋅ a 1 + a 2 x 2 d x = ∫ 1 1 + k d k 2 a = ln ⁡ | 1 + k | 2 a

Voltando pra x ...

ln ⁡ | 1 + k | 2 a = 1 2 a l n ⁡ | 1 + a 2 x 2 |

Então...

∫ u d v = x ⋅ a r c t g   a x - 1 2 a l n ⁡ | 1 + a 2 x 2 |

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x ⋅ a r c t g   a x - 1 2 a l n ⁡ | 1 + a 2 x 2 | + c

Resposta

x ⋅ a r c t g   a x - 1 2 a l n ⁡ | 1 + a 2 x 2 | + c

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