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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 12

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ arccot ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = arccot ⁡ 2 x ;

d u = - 2 1 + 4 x 2 d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = arccot ⁡ 2 x ⋅ x - ∫ x ⋅ - 2 1 + 4 x 2 d x

Aplicando a substituição u   d u no último termo, temos:

u = 1 + 4 x 2 ;

d u = 8 x   d x .

∫ - 2 x 1 + 4 x 2 d x = - ∫ 1 4 u d u = - 1 4 ln ⁡ u = - 1 4 ln ⁡ | 1 + 4 x 2 |

Voltando na integral original:

∫ u d v = x ⋅ arccot ⁡ 2 x + 1 4 ln ⁡ | 1 + 4 x 2 |

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x ⋅ arccot ⁡ 2 x + 1 4 ln ⁡ | 1 + 4 x 2 | + c

Resposta

x ⋅ arccot ⁡ 2 x + 1 4 ln ⁡ | 1 + 4 x 2 | + c

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39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.41- para calcular ∫ ln ⁡ e xd x usando a integração por partes, escolha d v = e x d x .
1-38 Calcule a integral.30.int_(sqrt(e))^e (ln x)/(x^2) d x
43-44 Calcule a integral fazendo uma substituição u e, depois, integrando por partes.43- ∫ e xd x
1-38 Calcule a integral29-int_1^e x^2 l n x d x
1-38 Calcule a integral37-int_1^3 sqrt(x) arctg sqrt(x) d x