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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 35

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = sec x ⁡ x ;

d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x ;

d v = sec 2 ⁡ x d x ;

v = ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x .

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x d x

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x ⋅ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - ∫ tan 2 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x d x

∫ u d v = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Passo 2

Percebe-se que temos a repetição da integral original, então substituiremos:

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ u d v

∫ u d v = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - ∫ u d v + ∫ sec ⁡ x d x

2 ∫ u d v = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + ∫ sec ⁡ x d x

2 ∫ u d v = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x |

∫ u d v = 1 2 sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

1 2 sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c

Resposta

1 2 sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c

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