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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 6

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

∫ cos 3 ⁡ x d x

Utilizando a integração por partes, temos:

u = cos 2 ⁡ x ;

d u = - 2 cos ⁡ x s e n   x   d x ;

d v = cos ⁡ x   d x ;

v = ∫ cos ⁡ x   d x = s e n   x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ cos 3 ⁡ x d x = ∫ u d v = cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x - ∫ s e n   x ⋅ ( - 2 cos ⁡ x s e n   x )   d x

∫ u d v = cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x + 2 ∫ s e n 2 x cos ⁡ x   d x

Utilizaremos a substituição u   d u para resolvermos o último termo:

u = s e n   x ;

d u = cos ⁡ x .

∫ s e n 2 x cos ⁡ x   d x = ∫ u 2 d u = u 3 3 = s e n 3 x 3

Voltando na integral original, temos:

∫ u d v = cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x + 2 ⋅ s e n 3 x 3

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x + 2 3 s e n 3 x + c

Resposta

cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x + 2 3 s e n 3 x + c

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