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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 5

Calcule a integral.

int_(sqrt(2))^2 (1)/(t^3 sqrt(t^2 - 1)) d t

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos calcular essa integral e para isso iremos utilizar uma substituição adequada. Para isso iremos utilizar o auxilio de uma tabela.

Por substituição, a gente diz que t = sec theta , assim, sua derivada é d t = sec theta tg theta d theta , e temos que t = sqrt(2) , então,

sec theta = sqrt(2) -> theta = pi // 4

e com t = 2 temos sec theta = 2 -> theta = (pi)/(3) .

Passo 2

Assim a integral

int_(sqrt(2))^2 (1)/(t^3 sqrt(t^2 - 1)) d t = int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (1)/(sec^3 theta tg theta) sec theta tg theta d theta

= int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (1)/(sec^2 theta) d theta

= int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) cos^2 theta d theta

Podemos escrever cos^2 theta = (1)/(2) (1 + cos 2 theta) :

= int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (1)/(2) (1 + cos 2 theta) d theta

= (1)/(2) [theta + (1)/(2) sen 2 theta]_((pi)/(4))^((pi)/(3))

= (1)/(2) [((pi)/(3) + (1)/(2) (sqrt(3))/(2)) - ((pi)/(4) + (1)/(2) 1)]

= (1)/(2) ((pi)/(12) + (sqrt(3))/(4) - (1)/(2))

= (pi)/(24) + (sqrt(3))/(8) - (1)/(4)

Resposta

(pi)/(24) + (sqrt(3))/(8) - (1)/(4)

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