Calcule a integral.

∫ 2 2 1 t 3 t 2 - 1 d t

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos calcular essa integral e para isso iremos utilizar uma substituição adequada. Para isso iremos utilizar o auxilio de uma tabela.

Por substituição, a gente diz que t = sec ⁡ θ , assim, sua derivada é d t = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ , e temos que t = 2 , então,

sec ⁡ θ = 2 → θ = π / 4

e com t = 2 temos sec ⁡ θ = 2 → θ = π 3 .

Passo 2

Assim a integral

∫ 2 2 1 t 3 t 2 - 1 d t = ∫ π 4 π 3 1 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

= ∫ π 4 π 3 1 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ π 4 π 3 cos 2 ⁡ θ d θ

Podemos escrever cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ :

= ∫ π 4 π 3 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 2 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ π 4 π 3

= 1 2 π 3 + 1 2 3 2 - π 4 + 1 2   1

= 1 2 π 12 + 3 4 - 1 2

= π 24 + 3 8 - 1 4

Resposta

π 24 + 3 8 - 1 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados