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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 1

Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x ; x = 3 sec ⁡ θ

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos resolver essa integração por meio de uma substituição trigonométrica.

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

Passo 2

A gente tem que x = 3 sec ⁡ θ , e θ varia nos seguintes intervalos:

0 ≤ θ ≤ π 2 e π ≤ θ ≤ 3 π 2

Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = 3 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ .

Agora, achando o valor do nosso cateto x 2 - 9 por meio da substituição de x , temos:

x 2 - 9 = 3 sec ⁡ θ 2 - 9

= 9 sec 2 ⁡ θ - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 1

= 9 tg 2 ⁡ θ = 3 tg ⁡ θ = 3 tg ⁡ θ

para os valores relevantes de θ .

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = ∫ 1 9 sec 2 ⁡ θ 3 tg ⁡ θ 3 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Sendo sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

= 1 9 ∫ cos ⁡ θ d θ

= 1 9 sen ⁡ θ + C

= 1 9 x 2 - 9 x + C    

Note que - sec ⁡ ( θ + π ) = sec ⁡ θ , então a figura é suficiente para o caso π ≤ θ ≤ 3 π 2 !

Resposta

1 9 x 2 - 9 x + C .

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