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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 21

Calcule a integral.

int (x^3 + 4)/(x^2 + 4) d x

Passo 1

Olá, querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos a resolução de uma integral, que é uma fração e que para integrar não aparenta termos outro método, a não ser o de frações parciais.

O grau do numerador é maior que o grau do denominador, então devemos efetuar a divisão de polinômios.

x^3 + 4 = x (x^2 + 4) + 4 - 4 x

Assim,

(x^3 + 4)/(x^2 + 4) = (x (x^2 + 4) + 4 (1 - x))/(x^2 + 4)

= x + 4 (1 - x)/(x^2 + 4)

= x + (4)/(x^2 + 4) - (4 x)/(x^2 + 4)

Passo 2

Assim, a integral fica

int (x^3 + 4)/(x^2 + 4) d x = int x d x + 4 int (1)/(x^2 + 4) d x - 4 int (x)/(x^2 + 4) d x

A primeira integral é imediata: (x^2)/(2) . Para calcular a segunda, vamos fazer x = 2 u , assim

int (1)/(x^2 + 4) d x

= int (1)/(4 u^2 + 4) 2 d u

= (1)/(2) int (1)/(1 + u^2) d u

= (1)/(2) a r c t g u

= (1)/(2) a r c t g ((x)/(2))

Por fim, a última integral é resolvida fazendo t = x^2 + 4 => d t = 2 x d x . Portanto,

int (x)/(x^2 + 4) d x

= (1)/(2) int (1)/(t) d t

= (1)/(2) ln |t|

= (1)/(2) ln (x^2 + 4)

Assim,

int (x^3 + 4)/(x^2 + 4) d x

= (x^2)/(2) + 4 * (1)/(2) a r c t g ((x)/(2)) - 4 * (1)/(2) ln (x^2 + 4) + C

Portanto,

int (x^3 + 4)/(x^2 + 4) d x = (x^2)/(2) + 2 a r c t g ((x)/(2)) - 2 ln (x^2 + 4) + C

Resposta

(x^2)/(2) + 2 a r c t g ((x)/(2)) - 2 ln (x^2 + 4) + C

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