Calcule a integral.

∫ x 3 + 4 x 2 + 4   d x

Passo 1

Olá, querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos a resolução de uma integral, que é uma fração e que para integrar não aparenta termos outro método, a não ser o de frações parciais.

O grau do numerador é maior que o grau do denominador, então devemos efetuar a divisão de polinômios.

x 3 + 4 = x x 2 + 4 + 4 - 4 x

Assim,

x 3 + 4 x 2 + 4 = x x 2 + 4 + 4 1 - x x 2 + 4

= x + 4   1 - x x 2 + 4

= x + 4 x 2 + 4 - 4 x x 2 + 4

Passo 2

Assim, a integral fica

∫ x 3 + 4 x 2 + 4   d x = ∫ x   d x + 4 ∫ 1 x 2 + 4 d x - 4 ∫ x x 2 + 4 d x

A primeira integral é imediata: x 2 2 . Para calcular a segunda, vamos fazer x = 2 u , assim

∫ 1 x 2 + 4 d x

= ∫ 1 4 u 2 + 4   2   d u

= 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u

= 1 2 a r c t g   u

= 1 2 a r c t g   x 2

Por fim, a última integral é resolvida fazendo t = x 2 + 4 ⇒ d t = 2 x   d x . Portanto,

∫ x x 2 + 4 d x

= 1 2 ∫ 1 t d t

= 1 2 ln ⁡ t

= 1 2 ln ⁡ x 2 + 4

Assim,

∫ x 3 + 4 x 2 + 4   d x

= x 2 2 + 4 ⋅ 1 2 a r c t g x 2 - 4 ⋅ 1 2 ln ⁡ x 2 + 4 + C

Portanto,

∫ x 3 + 4 x 2 + 4   d x = x 2 2 + 2   a r c t g   x 2 - 2 ln ⁡ x 2 + 4 + C

Resposta

x 2 2 + 2   a r c t g   x 2 - 2 ln ⁡ x 2 + 4 + C

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