Calcule a integral.

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Não é um “bicho de 187346897 cabeças”, temos

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t

Para o valor de u a gente escolhe a variável mais simples. “Ah mais sempre vai ser assim??” Geralmente!

u = t   ;   d u = d t

O nosso d v é a integral, portanto:

d v = cos 2 ⁡ t d t

O cos 2 ⁡ t é uma integral que já temos pronta nas fórmulas trigonométricas. Usamos cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2 , vamos relembrar como resolve:

∫ 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t d t = 1 2 ∫ 1 d t + ∫ cos ⁡ 2 t d t

Aplicamos o método da substituição u = 2 t       e   d u = 2   d t :

1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t d t = 1 2 ∫ 1 d t + ∫ cos ⁡ u ( 1 2 d u )

= 1 2 ∫ 1 d t + 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

= 1 2 t + 1 2 sin ⁡ 2 t

= 1 2 t + 1 4 sin ⁡ 2 t

Pronto! Tendo isso esclarecido, voltamos para nossa integral inicial:

d v = cos 2 ⁡ t d t

v = 1 2 t + 1 4 sin ⁡ 2 t

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Portanto:

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = t 1 2 t + 1 4 sin ⁡ 2 t 0 π - ∫ 0 π 1 2 t + 1 4 sin ⁡ 2 t d t

Calculando...

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = 1 2 t 2 + 1 4 t   s i n   2 t 0 π - 1 4 t 2 + 1 4 × - cos ⁡ 2 t 2 0 π

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = 1 2 t 2 + 1 4 t   s i n   2 t 0 π - 1 4 t 2 - cos ⁡ 2 t 8 0 π

Aplicando os intervalos de integração na primeira parte, temos:

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = 1 2 π 2 + 1 4 π   s i n   2 π - 1 2 0 2 + 1 4 × 0 × s i n   2 × 0 - 1 4 t 2 - cos ⁡ 2 t 8 0 π

= 1 2 π 2 + 0 - 1 4 t 2 - cos ⁡ 2 t 8 0 π

Na segunda,

= 1 2 π 2 + 0 - 1 4 π 2 - cos ⁡ 2 π 8 - 1 4 0 2 - cos ⁡ 2 × 0 8

Totalizando,

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = 1 2 π 2 - 1 4 π 2 - 1 8 - - 1 8

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = 1 2 π 2 - 1 4 π 2

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = π 2 4

Prontinho!!

Resposta

∫ 0 π t cos 2 ⁡ t d t = π 2 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados