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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 17

Calcule a integral.

int_0^(pi) t cos^2 t d t

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Não é um “bicho de 187346897 cabeças”, temos

int_0^(pi) t cos^2 t d t

Para o valor de u a gente escolhe a variável mais simples. “Ah mais sempre vai ser assim??” Geralmente!

u = t ; d u = d t

O nosso d v é a integral, portanto:

d v = cos^2 t d t

O cos^2 t é uma integral que já temos pronta nas fórmulas trigonométricas. Usamos cos^2 t = (1 + cos 2 t)/(2) , vamos relembrar como resolve:

int (1 + cos 2 t)/(2) d t

(1)/(2) int 1 + cos 2 t d t = (1)/(2) [int 1 d t + int cos 2 t d t]

Aplicamos o método da substituição u = 2 t e d u = 2 d t :

(1)/(2) int 1 + cos 2 t d t = (1)/(2) [int 1 d t + int cos u ( (1)/(2) d u )]

= (1)/(2) [int 1 d t + (1)/(2) int cos u d u]

= (1)/(2) [t + (1)/(2) sin 2 t]

= (1)/(2) t + (1)/(4) sin 2 t

Pronto! Tendo isso esclarecido, voltamos para nossa integral inicial:

d v = cos^2 t d t

v = (1)/(2) t + (1)/(4) sin 2 t

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

int u d v = u v - int v d u

Portanto:

int_0^(pi) t cos^2 t d t = [t ((1)/(2) t + (1)/(4) sin 2 t)]_0^(pi) - int_0^(pi) (1)/(2) t + (1)/(4) sin 2 t d t

Calculando...

int_0^(pi) t cos^2 t d t = [(1)/(2) t^2 + (1)/(4) t s i n 2 t]_0^(pi) - [(1)/(4) t^2 + (1)/(4) xx (- (cos 2 t)/(2))]_0^(pi)

int_0^(pi) t cos^2 t d t = [(1)/(2) t^2 + (1)/(4) t s i n 2 t]_0^(pi) - [(1)/(4) t^2 - (cos 2 t)/(8)]_0^(pi)

Aplicando os intervalos de integração na primeira parte, temos:

int_0^(pi) t cos^2 t d t = [(1)/(2) pi^2 + (1)/(4) pi s i n 2 pi - ((1)/(2) 0^2 + (1)/(4) xx 0 xx s i n (2 xx 0))] - [(1)/(4) t^2 - (cos 2 t)/(8)]_0^(pi)

= [(1)/(2) pi^2 + 0] - [(1)/(4) t^2 - (cos 2 t)/(8)]_0^(pi)

Na segunda,

= [(1)/(2) pi^2 + 0] - [(1)/(4) pi^2 - (cos 2 pi)/(8) - ((1)/(4) 0^2 - (cos 2 xx 0)/(8))]

Totalizando,

int_0^(pi) t cos^2 t d t = (1)/(2) pi^2 - [(1)/(4) pi^2 - (1)/(8) - (- (1)/(8))]

int_0^(pi) t cos^2 t d t = (1)/(2) pi^2 - (1)/(4) pi^2

int_0^(pi) t cos^2 t d t = (pi^2)/(4)

Prontinho!!

Resposta

int_0^(pi) t cos^2 t d t = (pi^2)/(4)

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