Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 29

Calcule a integral.

∫ 1 9 x - 1 x d x

Passo 1

Oie, tudo beleza? Nessa questão, precisamos calcular a integral

∫ 1 9 x - 1 x d x .

Mas se liga só, pra fazer isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

  • Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então

    • ∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

    Olhando a integral dada, temos que no nosso caso a = 1 , b = 9 e que f x =   x - 1 x .

    Assim, para calcularmos a integral pedida, precisamos apenas encontrar uma primitiva F de f e fazer as contas necessárias, beleza?

    Para encontrar essa primitiva F vamos usar a Regra da Potência:

  • Uma primitiva da função x n é

x n + 1 n + 1

Para n ≠ - 1 .

Temos tudo o que precisamos, bora começar? 🤜🤛

Passo 2

Vamos encontrar a primitiva da função

f x = x - 1 x .

Para facilitar, vamos reescrever a função f P da seguinte forma:

f x = x x - 1 x = x 1 2 - x - 1 2 .

Show! Agora usando a Regra da Potência em cada um dos seus termos, temos que

F x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 - x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = 2 3 x 3 2 - 2 x 1 2    

é uma primitiva da função f .

Pronto, encontramos a primitiva F da função f . Agora a gente só precisa usar o Teorema Fundamental do Cálculo e fazer os cálculos necessários. Bora lá!

Passo 3

Pelo Teorema vale que

∫ 1 9 f ( x ) d x = F ( x ) | 9 1 = F 9 - F 1 .

Fazendo as contas, temos que como

F 9 = 2 ⋅ 27 3 - 2 ⋅ 3 = 12

e F 1 = 2 3 - 2 = - 4 3 ,

então

∫ 1 9 x - 1 x   d x = 12 - - 4 3 = 40 3 .

Resposta

A integral é dada por

∫ 1 9 x - 1 x d x = 40 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Ache (a) o deslocamento e (b) a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo d
O custo marginal de fabricação de x metros de um certo tecido é C ' x = 3 - 0,01 x + 0,000006 x 2 (em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2000 para 4000 m
A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de r t = 200 - 4 t litros por minuto, onde 0 ≤ t ≤ 50 . Encontre a quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minu
Em 7 de maio de 1992 o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS- 49 , cujo propósito era instalar uma peça nova em um satélite de comunicação do INTELSAT. A tabela dá os dados da velocidade
Calcule a integral.int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x