Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 60
A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Ache (a) o deslocamento e (b) a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado.
,
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função que expressa a velocidade em função do tempo de uma partícula ao longo de uma linha reta:
Para .
Queremos encontrar o deslocamento e a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado.
Para isso, devemos integrar a expressão, pois o deslocamento é a antiderivada da velocidade!! Dessa forma, temos que:
E também queremos saber a distância percorrida. Para esse cara, não importa se a velocidade é para frente ou para trás, o que importa é que o corpo está percorrendo uma distância, dessa forma, teremos que a distância percorrida é dada por:
E aí?? Bora lá?? 😉
Passo 2
Vamos lá, queremos o descolamento, devemos lembrar que o deslocamento é encontrado integrando a função velocidade, e foi pedido para encontrar no intervalo de tempo , esses são os nossos limites de integração, vamos calcular então:
Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:
Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas.
A constante podesair da integral:
A integral da potência de :
A integral da constante:
Passo 3
Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:
Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.
Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Ficamos então com:
Dessa forma, temos que o deslocamento é:
Passo 4
Para calcular a distância pecorrida pela partícula devemos resolver a mesma integral, com a diferença da função estar em módulo:
Para avaliar o módulo, fica mais fácil se fatorarmos a expressão dentro da integral. Para isso, devemos encontrar as suas raízes que são e , e assim podemos escreve-la como:
Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo.
Veja bem, o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:
Lembrando sobre módulo, temos que ele se comporta como:
Pronto, vamos usar!!
Vemos que a função é negativa quando , vamos então usar o limite de integração de a 4 com a função
E ela é positiva quando , vamos então usar o limite de integração de a com a função
Sendo assim, ficamos com:
Passo 5
Viu? Agora fica simples de resolver, vamos fazer separademente, para não confundir:
E
Juntando os resultados, obtemos:
Dessa forma, a distância percorrida é:
Resposta
- O deslocamento é m.
- A distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado é m.