O custo marginal de fabricação de metros de um certo tecido é (em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de para metros.

Veja bem, o aumento do custo do nível de produção, de para metros é dado substituindo os valores na fórmula acima, como queremos o aumento de para metros, esses serão os limites de integração:

Temos como calcular a parte do lado esquerdo da expressão, calcular a integral, então vamos lá:

Substituindo a função custo marginal, ficaremos com:

Podemos particionar essa integração em três, já que temos uma função polinomial com três termos.

Assim, nossa integral se torna:

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas, lembrando que:

Bora aplicar!

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

E

Ou melhor:

E para:

Ou melhor:

Prontinho.

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Ficamos então com:

Agora, basta substituir os limites de integração na função e fazer a subtração de seus resultados.

E resolvendo a expressão, ficamos com:

E prontinho. Essa é nossa variação do custo total para o intervalo pedido.