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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 22

Calcule a integral.

22 .             ∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u

Então... Temos uma integral definida e sabemos que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f u d u = F b - F a

Em que F ' = f .

Também devemos saber que, pela propriedade 3:

∫ a b c f u d u = c ∫ a b f u d u

Onde c é qualquer constante.

Também vamos usar a fato de que, pela propriedade 4:

∫ a b f x + g x d x = ∫ a b f x d x + ∫ a b g x d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a propriedade 4, temos:

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = ∫ 0 1 1 d u + ∫ 0 1 1 2 u 4 d u - ∫ 0 1 2 5 u 9 d u

Dessa forma, removendo as constantes para fora da integral (propriedade 3), temos:

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = ∫ 0 1 d u + 1 2 ∫ 0 1 u 4 d u - 2 5 ∫ 0 1 u 9 d u

Passo 3

Sabemos que:

u n + 1 n + 1 ' = u n

Assim, aplicando nas nossas integrais, temos:

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = u + 1 2 u 5 5 - 2 5 u 10 10 ' ∴

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9

Passo 4

E, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = u + 1 2 u 5 5 - 2 5 u 10 10 0 1 ∴

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = 1 + 1 2 5 - 2 5 10 - 0 + 0 5 - 0 10 ∴

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = 1 + 1 10 - 2 50 ∴

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = 50 + 5 - 2 50 ∴

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = 53 50

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ 0 1 1 + 1 2 u 4 - 2 5 u 9 d u = 53 50

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