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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 4

Sejam f e g contínuas em [ a , b ] , com α ≤ f x ≤ g ( x ) em [ a , b ] onde α é um real dado. Seja o conjunto

A = x , y ∈ R 2   a ≤ x ≤ b ,   f x ≤ y ≤ g x }

Mostre que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno da reta y = α do conjunto A , é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A .

Passo 1

Assim como na questão anterior, teremos um volume que vamos chamar de V e temos que provar que ele é igual ao produto da área de A que podemos chamar de A A e o comprimento da circunferência que vai ser L , então temos que chegar em

V = L ⋅ A A

O comprimento L é o comprimento de uma circunferência que é dado por

L = 2 π r

Sendo que para este caso o raio é coordenada y do centro de massa que vamos chamar de y c , subtraída de α

L = 2 π ( y c - α )

E temos que

y c = 1 2 ⋅ ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x A A

Então

L = 2 π 1 2 ⋅ ∫ a b g x + f x g x - f x   d x A A - α

L = π ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x A A - 2 π α

E o volume vai ser dado por

V = π ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x - 2 π α A A

Utilizando na integral, o produto notável r + s r - s = r 2 - s 2

V = π ∫ a b g 2 x - f 2 ( x )   d x - 2 π α A A

Passo 2

Para calcular o volume do sólido em torno de uma reta y = α , onde α é uma constante, fazemos de forma semelhante ao sólido em torno do eixo x , mas agora o raio do nosso cilindro é dado pela diferença entra a função e essa constante, portanto

V = π ∫ a b g x - α 2 - f x - α 2   d x

Vamos escrever por enquanto g x = g e f x = f para melhor visualização. Abrindo então os quadrados das subtrações

V = π ∫ a b g 2 - 2 g α + α 2 - ( f 2 - 2 f α + α 2 )   d x

V = π ∫ a b g 2 - 2 g α + α 2 - f 2 + 2 f α - α 2   d x

V = π ∫ a b g 2 - f 2 - 2 g α + 2 f α   d x

Podemos então separar a integral em duas e ficamos com

V = π ∫ a b g 2 - f 2   d x + π ∫ a b - 2 g α + 2 f α   d x

Colocando - 2 α em evidência na segunda integral e jogando a constante pra fora

V = π ∫ a b g 2 - f 2   d x - 2 π α ∫ a b g - f   d x

Podemos perceber agora que segunda integral representa a área do conjunto A , que chamamos de A A , então temos

V = π ∫ a b g 2 ( x ) - f 2 ( x )   d x - 2 π α A A

Chegamos então, na mesma expressão do passo 1, portanto é verdadeiro a equação

V = L ⋅ A A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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