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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 3

(Teorema de Papus). Considere o conjunto

A = x , y ∈ R 2   a ≤ x ≤ b ,   f x ≤ y ≤ g ( x ) }

Onde f e g são supostas contínuas em [ a , b ] e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) em [ a , b ] . Mostre que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A , é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A .

Passo 1

Antes de tudo, vamos entender o que o enunciado nos pede. Ele quer que nós provemos que um volume que vamos chamar de V seja igual ao produto da área de A que podemos chamar de A A e o comprimento da circunferência que vai ser L , então temos que chegar em

V = L ⋅ A A

O comprimento L é o comprimento de uma circunferência que é dado por

L = 2 π r

Sendo r o raio da circunferência, para este caso, o raio é coordenada y do centro de massa que vamos chamar de y c , logo

L = 2 π y c

E temos também que

y c = 1 2 ⋅ ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x A A

Substituindo no comprimento

L = 2 π ⋅ 1 2 ⋅ ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x A A

L = π ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x A A

Substituindo agora no volume, temos

V = π ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x A A ⋅ A A

V = π ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x

Passo 2

Vamos agora calcular o volume do sólido de revolução gerado pelo conjunto A , que podemos calcular da seguinte forma

V = π ∫ a b g 2 x - f 2 x   d x

Dentro da integral temos uma diferença de quadrados que pode ser expandida como r 2 - s 2 = ( r + s ) ( r - s )

V = π ∫ a b g x + f ( x ) g x - f ( x )   d x

Chegamos na mesma expressão do passo 1, portanto podemos concluir que a equação

V = L ⋅ A A

está correta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use os valores dados de aeb para expressar os limites seguintes como integrais. (não calcule as integrais) lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n s e n 2 x k * Δ x k ;a = 0 ,b = π 2
Use a definição 5.5 . 1 para expressar as integrais como limites de somas de Riemann. (não calcule as integrais. ∫ 1 2 2 xd x ∫ 0 1 x x + 1d x
Use os valores dados de aeb para expressar os limites seguintes como integrais. (não calcule as integrais) lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n x k * 2 Δ x k ;a = - 1 ,b = 2
Use os valores dados de aeb para expressar os limites seguintes como integrais. (não calcule as integrais) lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n x k * 3 Δ x k ;a = 1 ,b = 2
Use a definição 5.5 . 1 para expressar as integrais como limites de somas de Riemann. (não calcule as integrais.) ∫ 1 2 xd x ∫ - π 2 π 2 1 + cos ⁡ x d x