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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 9

(Teorema de Papus para área de superfície de revolução). Suponha f x ≥ 0 e com derivada contínua em [ a , b ] . Mostre que a área da superfície, obtida pela rotação em torno do eixo O x do gráfico de f , é igual ao produto do comprimento do gráfico de f pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa do gráfico de f .

Passo 1

O enunciado pede que provemos que a área da superfície de revolução é dada por

A = L ⋅ C

Onde L é comprimento de f e C o comprimento da circunferência de revolução do centro de massa de f .

Para encontrar C , precisamos apenas da coordenada y do centro de massa que é calculada por

y c = ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x L

Com y c sendo nosso raio, temos

C = 2 π ⋅ y c

C = 2 π ⋅ ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x L

Substituindo na área, temos

A = L ⋅ 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x L

A = 2 π ∫ a b f x   1 + f ' x 2   d x

Que é justamente a fórmula encontrada na seção 4, portanto é verdadeira a afirmação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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25-28. Use o Teorema 5.5 . 4 e fórmulas apropriadas de Geometria para calcular as integrais. 2 7 . ∫ 0 1 ( x + 2 1 - x 2 ) d x
25-28. Use o Teorema 5.5 . 4 e fórmulas apropriadas de Geometria para calcular as integrais. 25 . ∫ - 1 3 4 - 5 x d x
13-16. Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário. 16. (a) ∫ - 10 - 5 6 d x (b) ∫ -
17. Em cada parte, calcule a integral, sabendo que: f x = x - 2 ,x ≥ 0 x + 2 ,x0 a) ∫ - 2 0 f x d x b) ∫ - 2 2 f x d x c) ∫ 0 6 f x d x d) ∫ - 4 6 f x d x
F = ∫ a b ρ h x w x sec ⁡ θ d x Derive a fórmula dada acima para a força do fluido sobre uma superfície plana imersa a um certo ângulo em um fluido.