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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 69

Calcule a integral abaixo:

int (e^(s e n^(- 1 (sqrt(x)))))/(2 sqrt(x - x^2)) d x

Passo 1

Observe primeiramente que podemos simplificar essa integral. Logo, temos que:

int (e^(s e n^(- 1 (sqrt(x)))))/(2 sqrt(x - x^2)) d x = (1)/(2) int (e^(s e n^(- 1 (sqrt(x)))))/(sqrt(x (1 - x))) d x = (1)/(2) int (e^(s e n^(- 1 (sqrt(x)))))/(sqrt(x) sqrt(1 - x)) d x

Passo 2

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

(1)/(2) int (e^(s e n^(- 1 (sqrt(x)))))/(sqrt(x) sqrt(1 - x)) u = √ x d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x => 2 d u = (1)/(sqrt(x)) d x

Passo 3

Aplicando a substituição:

(1)/(2) int (2 e^(s e n^(- 1 (sqrt(u)))))/(sqrt(1 - u^2))

Observe que como u = sqrt(x) => x = u^2

Passo 4

Efetuando uma nova substituição, temos:

v = s e n^(- 1) ( u )

d v = (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 5

Aplicando a substituição e integrando, temos:

int e^v d v = e^v + C

Passo 6

Substituindo v e u pela função que atribuímos, temos respectivamente:

e^(s e n^(- 1 (u))) + C = e^(s e n^(- 1 (sqrt(x)))) + C

Resposta

e^(s e n^(- 1 (sqrt(x)))) + C

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