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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 71

Calcule a integral abaixo:

int (1)/(sqrt(t g^(- 1) (y)) ( 1 + y^2 )) d y

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int (1)/(sqrt(t g^(- 1) (y)) ( 1 + y^2 )) d y u = t g^(- 1) ( y ) d u = (1)/(1 + y^2) d y

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int (1)/(sqrt(u)) d u = int u^(- (1)/(2)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

int u^(- (1)/(2) ) d u = (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

2 a r c t g^((1)/(2)) (y) + C = 2 sqrt(t g^(- 1) (y)) + C

Resposta

2 sqrt(t g^(- 1) (y)) + C

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