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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 56

Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ 1 x x 3 - 1   d x

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x + a 1 / n .

Se :

u = x 3 - 1 1 2

u 2 = x 3 - 1

x 3 = u 2 + 1

2 u d u = 3 x 2 d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ 1 x x 3 - 1   d x = ∫ 1 x x 3 - 1 1 / 2   d x  

Aplicando a substituição, temos e trocando x 3 como complemento:

∫ 1 x x 3 - 1   d x = ∫ 1 x u . 2 u d u 3 x 2 = ∫ 2 d u 3 x 3 = 2 3 ∫ d u u 2 + 1

∫ 1 x x 3 - 1   d x = 2 3 ∫ d u u 2 + 1

Vamos resolver a integral utilizando a seguinte forma:

∫ 1 u 2 + 1 d u = arc tg ⁡ u + C

Integrando e aplicando na fórmula:

∫ 1 x x 3 - 1   d x = 2 3 arc tg ⁡ u + C

Substituindo u = x 3 - 1 1 2 :

∫ 1 x x 3 - 1   d x = 2 3 arc tg ⁡ x 3 - 1 + C

Passo 2

Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ 1 x x 3 - 1   d x = 2 3 arc tg ⁡ x 3 - 1 + C

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