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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1n

Calcule:

int_0^(+ oo) (x)/(1 + x^4) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) (x)/(1 + x^4) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (x)/(1 + x^4) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, aplicando a substituição

{[[u ( x ) = x^2],[d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)]])

Esquecendo os limites por enquanto, temos

int (x)/(1 + x^4) d x = (1)/(2) int (d u)/(1 + u^2)

E essa integral é elementar

= (1)/(2) arctg u + C

Voltando à variável x

= (1)/(2) arctg (x^2) + C

Voltando ao limite temos

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (x)/(1 + x^4) d x = underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(2) arctg (x^2)]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(2) arctg (A^2) - (1)/(2) arctg (0)]

Sabemos que arctg (0) = 0 e que com A -> + oo seu quadrado A^2 -> + oo e o limite

underset(x -> + oo)(lim) arctg (x) = (pi)/(2)

Então

underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(2) arctg (A^2) - (1)/(2) arctg (0)] = (1)/(2) * (pi)/(2)

= (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

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