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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 35

No Exercício ∫ 0 1 x . e x 2 d x   , deduza uma primitiva do integrando. Verifique sua hipótese com derivação e, depois, calcule a integral definida dada. (Dica: tenha em mente a regra da cadeia ao deduzir uma primitiva. Você aprenderá como determinar primitivas desse tipo na próxima seção.)

Passo 1

O enuciado pede que a gente encontre a primitiva do integrando (que é o mesmo que o resultado da integral) por meio da dedução. Desse modo, precisamos pensar em uma espressão que derivada vai dar o valor do integrando. Após isso nós vamos derivar para poder confirmar se nossa dedução é real. Por último calculamos a integral definida.

Passo 2

Primeiro deduzimos uma possível primitiva:

∫ 0 1 x . e x 2 d x   →   e x 2 2

Depois para confirmar derivamos a expressão encontrada:

d d x   e x 2 2 =   1 2   d d x   e x 2  

Nesse caso usaremos a regra da cadeia

=   1 2   d d x   e x 2 .   d d x   x 2

=   1 2 .   e x 2 . 2 x

=   x .   e x 2

Passo 3

O resultado acima confirma que nossa dedução esta correta . Então agora basta resolver a integral definida.

∫ 0 1 x . e x 2 d x   = e x 2 2 0 1

= e 1 2 2 - e 0 2 2

= e 2 - 1 2

= e - 1 2

Resposta

∫ 0 1 x . e x 2 d x   = e - 1 2

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