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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 11

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_2^(oo) (2)/(v^2 - v) d v

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em [ a , oo ) , então:

int_a^(oo) f (x) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f ( x ) d x

Assim:

int_2^(oo) (2)/(v^2 - v) d v = underset(b -> oo)(lim) int_2^b (2)/(v^2 - v) d v

Passo 2

Integrando, temos:

int_2^(oo) (2)/(v^2 - v) d v = underset(b -> oo)(lim) ( 2 ln |(v - 1)/(v)| ) (​|_2^b = underset(b -> oo)(lim) ( 2 l n |(b - 1)/(b)| - 2 ln |(2 - 1)/(2)| )

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

underset(b -> oo)(lim) ( 2 l n |(b - 1)/(b)| - 2 ln |(2 - 1)/(2)| ) = 2 ln 1 - 2 ln ((1)/(2)) = ln 4

Resposta

ln 4

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