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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 11

Calcule a Integral abaixo:

11 - int sen^3 x cos^3 x d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

int sen^3 x * cos^2 x * cos x d x

Dado pela identidade trigonométrica, cos^2 x = 1 - sen^2 x

Assim teremos:

int sen^3 x * (1 - s e n^2 x) * cos x d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = s e n x

d u = c o s x

d x = (1)/(d u) = (1)/(c o s x)

Substituindo teremos:

int s e n^3 x ( 1 - sen^2 x ) * cos x * (1)/(c o s x) d u

Resolvendo a integral temos:

int s e n^3 x ( 1 - sen^2 x ) (cos x)/(cos x) d u

Substituindo por udu, teremos:

int u^3 (1 - u^2) d u = int u^3 - u^5 d x

Passo 2

Resolvendo a integral:

(u^4)/(4) - (u^6)/(6) + c

Substituindo para u = s e n x

(s e n^4 x)/(4) - (s e n^6 x)/(6) + c

Resposta

(s e n^4 x)/(4) - (s e n^6 x)/(6) + c

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