Calcule a integral definida

∫ 0 1 / 2       s e c 2 ( π x 2 ) t g ⁡ ( π x 2 )     d x  

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedades de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Uma questão estranha destas você pode se perguntar. Céus! Como eu calculo isso?

Bem , não vamos usar nada de muito diferentes dos últimos exercícios. Vamos Fazer substituição.

Agora mesmo que você deve estar pensando ?!?!?. Onde vamos substituir ai.

Bem, saca só isso!

t g ' x = s e c 2 x

Então quando formos fazer o u   d u   não vai restar nenhum termo

u   =   tg ⁡ π x 2  

d u   =   π 2 s e c 2 π x 2 d x → 2 d u π =   s e c 2 π x 2 d x

alterando os limites de integração

s e   x   =   0 ,   u   =   0

s e   x   =   ½   ,   u   =   1

Logo a integral fica:

∫ 0 1 / 2       s e c 2 ( π x 2 ) t g ⁡ ( π x 2 )     d x   =   ∫ 0 1   2 π u   d u      

Passo 3

u 2 π 0 1

=   1 π

Resposta

∫ 0 1 / 2       s e c 2 ( π x 2 ) t g ⁡ ( π x 2 )     d x   = 1 π

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