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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 34

Calcule a integral definida

int_0^(1 // 2) s e c^2 ( (pi x)/(2) ) t g ( (pi x)/(2) ) d x

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedades de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Uma questão estranha destas você pode se perguntar. Céus! Como eu calculo isso?

Bem , não vamos usar nada de muito diferentes dos últimos exercícios. Vamos Fazer substituição.

Agora mesmo que você deve estar pensando ?!?!?. Onde vamos substituir ai.

Bem, saca só isso!

t g^' (x) = s e c^2 (x)

Então quando formos fazer o u d u não vai restar nenhum termo

u = tg ((pi x)/(2))

d u = (pi)/(2) s e c^2 ((pi x)/(2)) d x -> (2 d u)/(pi) = s e c^2 ((pi x)/(2)) d x

alterando os limites de integração

s e x = 0 , u = 0

s e x = ½ , u = 1

Logo a integral fica:

int_0^(1 // 2) s e c^2 ( (pi x)/(2) ) t g ( (pi x)/(2) ) d x = int_0^1 (2)/(pi) u d u

Passo 3

((u^2)/(pi)|_0^1

= (1)/(pi)

Resposta

int_0^(1 // 2) s e c^2 ( (pi x)/(2) ) t g ( (pi x)/(2) ) d x = (1)/(pi)

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