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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 7

Calcule a integral definida

int_0^1 (x)/(( x^2 + 1 ) ³) d x

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Primeira coisa a se fazer é não se assustar com essa integral

Sempre que uma equação parecer difícil, acredite em mim , sempre há um jeito de fazermos uma substituição.

E depois integrar ficar moleza. Então lembre, ficar difícil use Substituição.

int_0^1 (x)/(( x^2 + 1 ) ³) d x

Se você não está tão afiado assim, eu vou dar um truque. Use de preferência o denominador para substituir.

Então:

u = x^2 + 1 ,

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

Agora vamos alterar os limites de integração

u = x^2 + 1 , s e x = 0 , e n t a o u = 1

s e x = 1 , e n t a o u = 2

Logo int_0^1 (x)/(( x^2 + 1 ) ³) d x fica int_1^2 (1)/(2 u ³) d u , Com u variando no intervalo [2,1]

Passo 3

int_1^2 (1)/(2 u ³) d u

= (- (1)/(2) . (1)/(2 u^2)|_(u = 1)^2

= - (1)/(4) ((1)/(2^2) - (1)/(1^2))

= (3)/(16)

Pronto. Viu como depois que substituímos ficou bem fácil? : )

Resposta

int_0^1 (x)/(( x^2 + 1 ) ³) d x = (3)/(16)

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