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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 19

Calcule a integral definida

int_0^(15) (w)/((1 + w)^(3 // 4)) d w

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Bem desta vez vamos precisar usar um truque malandro para resolvermos essa integral. Está vendo que no denominador tem uma soma, e o numerador tem um único termo? Então queremos o contrário. A situação ideal é onde podemos separar as frações.

Então vamos substituir de um jeito mais malandro

int_0^(15) (w)/((1 + w)^(3 // 4)) d w

u = 1 + w -> w = u - 1

d u = dw

Proximo passo é alterar os limites de integração.

u = 1 + w

Se x = 0 , u = 1

Se x = 15 , u = 16

Entao

int_0^(15) (w)/((1 + w)^((3)/(4))) d w

fica

int_1^(16) (u - 1)/((u)^(3 // 4)) d u

Passo 3

Pronto já temos tudo o que queremos para separar a fração em duas.

int_1^(16) (u - 1)/((u)^(3 // 4)) d u = int_1^(16) u^(1 // 4) - u^(- 3 // 4) d u

Logo temos:

(4)/(5) u^((5)/(4)) - 4 u^((1)/(4))

(4)/(5) [ 16^((5)/(4)) - 1 ] - 4 [ 16^((1)/(4)) - 1 ]

= (104)/(5)

Resposta

int_0^(15) (w)/((1 + w)^(3 // 4)) d w = (104)/(5)

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(b) Use a substituição hiperbólica x = sinh ⁡ t para mostrar que ∫ d x x 2 + a 2 = sinh - 1 ⁡ x a + C