Calcule a integral definida

∫ 0 15 w 1 + w 3 / 4 d w      

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Bem desta vez vamos precisar usar um truque malandro para resolvermos essa integral. Está vendo que no denominador tem uma soma, e o numerador tem um único termo? Então queremos o contrário. A situação ideal é onde podemos separar as frações.

Então vamos substituir de um jeito mais malandro

∫ 0 15 w 1 + w 3 / 4 d w      

u       =   1 + w     →     w = u - 1

d u   =   dw

Proximo passo é alterar os limites de integração.

u       = 1 + w

Se x = 0 , u = 1

Se x = 15 ,   u = 16

Entao

∫ 0 15 w 1 + w 3 4 d w    

fica

∫ 1 16 u - 1   u 3 / 4   d u    

Passo 3

Pronto já temos tudo o que queremos para separar a fração em duas.

∫ 1 16 u - 1   u 3 / 4   d u     =   ∫ 1 16 u 1 / 4 - u - 3 / 4   d u      

Logo temos:

4 5   u 5 4 - 4   u 1 4

4 5 [ 16 5 4 - 1 ] - 4 [ 16 1 4 - 1 ]

=   104 5  

Resposta

∫ 0 15 w 1 + w 3 / 4 d w     = 104 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados