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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 46

Resolve a integral abaixo:

46 –

int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) 6 t g^4 x d x

Passo 1

Primeiramente vamos calcular a integral como indefinida, observe:

int 6 t g^4 x d x = 6 int t g^4 x d x

Dado a fórula:

int t g^n x d x = (1)/(n - 1) * t g^(n - 1) x - int t g^(n - 2) x d x

Substituindo na fórmula:

int t g^4 x d x = (1)/(4 - 1) * t g^(4 - 1) x - int t g^(4 - 2) x d x

Assim:

6 [(1)/(3) * t g^3 x - int t g^2 x d x]

Temos a propriedade de identidade trigonométrica:

t g^2 x = sec^2 x - 1

Assim:

6 [(1)/(3) * t g^3 x - int sec^2 x - 1 d x] = 6 [(1)/(3) * t g^3 x - (int sec^2 x d x - int 1 d x)]

6 [(1)/(3) * t g^3 x - (int sec^2 x d x - x)]

Passo 2

Seja:

int sec^2 x = t g x

6 [(1)/(3) * t g^3 x - (t g x - x)] = 6 [(1)/(3) t g^3 x - t g x + x]

Multiplicando por 6 :

[(6)/(3) t g^3 x - 6 t g x + 6 x]

Passo 3

Utilizando os limites de integração:

[2 t g^3 x - 6 t g x + 6 x]_(- (pi)/(4))^((pi)/(4))

Substituindo:

([2 t g^3 ((pi)/(4)) - 6 t g ((pi)/(4)) + 6 ((pi)/(4))] - [2 t g^3 (- (pi)/(4)) - 6 t g (- (pi)/(4)) + 6 (- (pi)/(4))])

Dado:

t g ((pi)/(4)) = 1 ; t g (- (pi)/(4)) = - 1 ;

([2 * 1 - 6 * 1 + (6 pi)/(4)] - [2 * - 1 - 6 * - 1 - (6 pi)/(4)])

Resolvendo:

([2 - 6 + (3 pi)/(2)] - [- 2 + 6 - (3 pi)/(2)]) = ([- 4 + (3 pi)/(2)] - [4 - (3 pi)/(2)]) = ([- 4 + (3 pi)/(2) - 4 + (3 pi)/(2)])

Resolvendo:

- 8 + (6 pi)/(2) = - 8 + 3 pi

Resposta

- 8 + 3 pi

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