Calcule a Integral abaixo:

16 - ∫ 7 cos 7 ⁡ t   d t

Passo 1

Primeiramente vamos expandir a integral e passar a constante multiplicativa, neste caso o 7 para fora da integral, veja:

7 ∫ cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t   d t

Dado pela identidade trigonométrica, cos 2 ⁡ t = 1 - sen 2 ⁡ t

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

Assim teremos:

7 ∫ 1 - s e n 2 t 1 - s e n 2 t 1 - s e n 2 t cos ⁡ t   d t

Organizando as multiplicações, teremos:

7   ∫ 1 - s e n 2 t 3 cos ⁡ t   d t

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = s e n   t

d u = cos ⁡ t

d x = 1 d u = 1 cos ⁡ t

Substituindo na integral, temos:

7   ∫ 1 - u 2 3 cos ⁡ t ⋅ 1 cos ⁡ t d u

Resolvendo a multiplicação:

7   ∫ 1 - u 2 3 cos ⁡ t cos ⁡ t d u

Pela regra dos produtos notáveis é bom sempre lembrar:

a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

Desta forma para:

a - b 2 3 = a 3 - 3 a 2 b 2 + 3 a b 4 - b 6

Resolvendo o produto notável: 1 - u 2 3 = - u 6 + 3 u 4 - 3 u 2 + 1

7 ∫ - u 6 + 3 u 4 - 3 u 2 + 1   d u

Passo 2

Resolvendo a integral indefinida por partes:

7 ∫ - u 6   d u + 3   ∫ u 4 d u - 3 ∫ u 2 d u + ∫ 1   d u  

Deste modo teremos:

7 - u 7 7 + 3 ⋅ u 5 5 - 3 ⋅ u 3 3 + u + c = - 7 u 7 7 + 21 u 5 5 - 21 u 3 3 + 7 u + c

Poderemos simplificar a expressão observe:

- 7 u 7 7 + 21 u 5 5 - 21   u 3 3 + 7 u + c = - u 7 + 21 u 5 5 - 7 u 3 + 7 u + c

Passo 3

Tirando da substituição, dado: u = s e n   t

- s e n 7 t + 21   s e n 5 t 5 - 7 sen 3 ⁡ t + 7 sen ⁡ t + c

Resposta

- s e n 7 t + 21   s e n 5 t 5 - 7 sen 3 ⁡ t + 7 sen ⁡ t + c

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