Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 16

Calcule a Integral abaixo:

16 - int 7 cos^7 t d t

Passo 1

Primeiramente vamos expandir a integral e passar a constante multiplicativa, neste caso o 7 para fora da integral, veja:

7 int cos^2 t + cos^2 t + cos^2 t + cos t d t

Dado pela identidade trigonométrica, cos^2 t = 1 - sen^2 t

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

Assim teremos:

7 int (1 - s e n^2 t) (1 - s e n^2 t) (1 - s e n^2 t) cos t d t

Organizando as multiplicações, teremos:

7 int (1 - s e n^2 t)^3 cos t d t

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = s e n t

d u = cos t

d x = (1)/(d u) = (1)/(cos t)

Substituindo na integral, temos:

7 int (1 - u^2)^3 cos t * (1)/(cos t) d u

Resolvendo a multiplicação:

7 int (1 - u^2)^3 (cos t)/(cos t) d u

Pela regra dos produtos notáveis é bom sempre lembrar:

(a - b)^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3

Desta forma para:

(a - b^2)^3 = a^3 - 3 a^2 b^2 + 3 a b^4 - b^6

Resolvendo o produto notável: (1 - u^2)^3 = - u^6 + 3 u^4 - 3 u^2 + 1

7 int - u^6 + 3 u^4 - 3 u^2 + 1 d u

Passo 2

Resolvendo a integral indefinida por partes:

7 [int - u^6 d u + 3 int u^4 d u - 3 int u^2 d u + int 1 d u]

Deste modo teremos:

7 [- (u^7)/(7) + 3 * ((u^5)/(5)) - 3 * ((u^3)/(3)) + u + c] = - (7 u^7)/(7) + (21 u^5)/(5) - (21 u^3)/(3) + 7 u + c

Poderemos simplificar a expressão observe:

- (7 u^7)/(7) + (21 u^5)/(5) - (21 u^3)/(3) + 7 u + c = - u^7 + (21 u^5)/(5) - 7 u^3 + 7 u + c

Passo 3

Tirando da substituição, dado: u = s e n t

- s e n^7 t + (21 s e n^5 t)/(5) - 7 sen^3 t + 7 sen t + c

Resposta

- s e n^7 t + (21 s e n^5 t)/(5) - 7 sen^3 t + 7 sen t + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule ∫ csc 2 ⁡ xc o t gxd x por dois métodos: (c) explique a diferença entre as respostas de (a) e (b).
A função rendimento marginal para uma certa mercadoria é dada por R ' x = a b ( x + b ) - 2 - c . Ache (a) a função rendimento total e (b) uma quação envolvendo p e x (a equação de demanda), onde x un
O volume de um balão cresce de acordo com a fórmula d V d t = t + 1 + 2 3 t , onde V em c m ³ ³ é o seu volume em t s. Se V = 33 quando t = 3 , ache(a) uma fórmula para V em termos de t; (b) o volume
O volume de água em um tanque é V m³ quando a profundidade é h m. Se a taxa de variação de V em relação a h for dada por d V d h = π ( 2 h + 3 ) 2 , ache o volume de água no tanque quando a profundida
Se x unidades forem demandadas quando p for o preço unitário, ache uma equação envolvendo p e x (a equação da demanda) de uma mercadoria para a qual a função rendimento marginal é dada por R ' x = 4 +