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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 65

O custo de certa peça de maquinaria é $700 e seu valor é depreciado com o tempo, de acordo com a fórmula d V d t = - 500 t + 1 - 2 , onde V é seu valor t anos após a compra. Qual o valor da peça três anos após sua compra?

Passo 1

Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é o valor com o tempo. Como dado no enunciado, a depreciação do valor é dada pela fórmula d V d t = - 500 t + 1 - 2 . Nos foi pedido o valor de uma peça após três anos de sua compra, ou seja, o valor de V(t) quando t = 3 anos. Vamos montar nosso problema abaixo.

V t = ∫ d V Como podemos obter dV para substituirmos na integral e encontrar o valor da peça? Através da relação da corrente que nos foi dada!

d V d t = - 500 t + 1 - 2 d V = - 500 t + 1 - 2 d t

Agora temos todas as informações para resolver o problema!

V t = ∫ - 500 t + 1 - 2 d t

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

V t = ∫ - 500 t + 1 - 2 d t V t = - 500 ∫ t + 1 - 2 d t V t = - 500 t + 1 - 1 - 1 + K V t = 500 ( t + 1 ) - 1 + K

Passo 3

Uma vez obtida a função do valor da peça, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

V 0 = 70 0 V 0 = 500 0 + 1 - 1 + K = 700 0 500 + K = 70 0 K = 700 - 500 K = 200

Portanto,

V t = 500 ( t + 1 ) - 1 + 200

Passo 4

O enunciado pede o valor da peça deois de três anos da sua compra. Logo,

V 3 = 500 3 + 1 - 1 + 200 V 3 = 500 ( 4 ) - 1 + 200 V 3 = 500 4 + 200 V 3 = 325

Resposta

O valor da peça três anos após sua compra é:

V 3 = 325

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