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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 20

Calcule a Integral abaixo:

20 –

int_0^(pi) 8 s e n^4 y cos^2 y d y

Passo 1

Primeiramente vamos inserir a constante multiplicativa para fora da integral, e aplicar a fórmula de redução de integrais, observe:

8 int_0^(pi) s e n^4 y cos^2 y d y

Para reduzir a integral vamos utilizar a seguinte fórmula:

int sen^n y cos^2 y d y = - (s e n^(n - 1) y cos^(2 + 1) y)/(n + 2) + (n - 1)/(n + 2) int s e n^(n - 2) y cos^2 y d y

Desenvolvendo a fórmula temos:

8 int_0^(pi) s e n^4 y cos^2 y d y = 8 [- (s e n^(4 - 1) y cos^3 y)/(4 + 2) + (4 - 1)/(4 + 2) int_0^(pi) s e n^(4 - 2) y cos^2 y d y]

Resolvendo:

8 int_0^(pi) s e n^4 y cos^2 y d y = 8 [- (s e n^3 y cos^3 y)/(6) + (3)/(6) int_0^(pi) s e n^2 y cos^2 y d y]

Simplificando:

8 int_0^(pi) s e n^4 y cos^2 y d y = 8 [- (s e n^3 y cos^3 y)/(6) + (1)/(2) int_0^(pi) s e n^2 y cos^2 y d y]

Passo 2

Neste passo vamos resolver a Integral:

int_0^(pi) s e n^2 y cos^2 y d y

Dado a identidade trigonométrica:

s e n^2 y cos^2 y = (1 - cos ( 4 y ))/(8)

Inserindo a substituição na Integral:

int_0^(pi) (1 - cos ( 4 y ))/(8) d y = (1)/(8) int_0^(pi) 1 - cos (4 y) d y

Aplicando a Regra da Cadeia nas Integrais temos:

(1)/(8) [int 1 d y - int cos (4 y) d y] = (1)/(8) [y - int cos (4 y) d y]

Resolvendo:

int cos (4 y) d y

u = 4 y

d u = 4

d x = (1)/(d u) = (1)/(4)

int (1)/(4) cos (u) d u = (1)/(4) int cos (u) d u = (1)/(4) s e n (u) = (1)/(4) s e n ( 4 y )

Substituindo na expressão:

(1)/(8) [int 1 d y - int cos (4 y) d y] = (1)/(8) [y - (1)/(4) s e n (4 y)]

Substituindo tudo na primeira fórmula:

8 int_0^(pi) s e n^4 y cos^2 y d y = 8 [- (s e n^3 y cos^3 y)/(6) + (1)/(2) ((1)/(8) [y - (1)/(4) s e n (4 y)])]

Passo 3

Resolvendo as multiplicações:

8 [- (s e n^3 y cos^3 y)/(6) + (1)/(16) (y - (1)/(4) s e n (4 y))]

Aplicando os limites da integral:

8 [- (s e n^3 y cos^3 y)/(6) + (1)/(16) (y - (1)/(4) s e n (4 y))]_0^(pi)

Substituindo pelos limites:

8 [(- (s e n^3 pi cos^3 pi)/(6) + (1)/(16) (pi - (1)/(4) s e n (4 pi))) - (- (s e n^3 0 cos^3 0)/(6) + (1)/(16) (0 - (1)/(4) s e n ( 0 )))]

Dado: s e n (pi) = 0 e s e n (0) = 0 , cos (pi) = - 1 e cos (0) = 1

Substituindo temos:

8 [(- (0 * - 1)/(6) + (1)/(16) (pi - (1)/(4) * 0) - (- (0 * 1)/(6) + (1)/(16) (0 - (1)/(4) * 0)))]

Resolvendo as operações:

8 [(0 + (1)/(16) pi - 0 + 0)] = 8 [(pi)/(16)] = (8 pi)/(16) = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

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