Calcule a Integral abaixo:

20 –

∫ 0 π 8 s e n 4 y cos 2 ⁡ y   d y

Passo 1

Primeiramente vamos inserir a constante multiplicativa para fora da integral, e aplicar a fórmula de redução de integrais, observe:

8 ∫ 0 π s e n 4 y cos 2 ⁡ y   d y

Para reduzir a integral vamos utilizar a seguinte fórmula:

∫ sen n ⁡ y cos 2 ⁡ y   d y =   - s e n n - 1 y cos 2 + 1 ⁡ y n + 2 + n - 1 n + 2 ∫ s e n n - 2 y   cos 2 ⁡ y   d y

Desenvolvendo a fórmula temos:

8 ∫ 0 π s e n 4 y cos 2 ⁡ y   d y = 8 - s e n 4 - 1 y cos 3 ⁡ y 4 + 2 + 4 - 1 4 + 2 ∫ 0 π s e n 4 - 2 y cos 2 ⁡ y   d y

Resolvendo:

8 ∫ 0 π s e n 4 y cos 2 ⁡ y   d y = 8 - s e n 3 y cos 3 ⁡ y 6 + 3 6 ∫ 0 π s e n 2 y cos 2 ⁡ y   d y

Simplificando:

8 ∫ 0 π s e n 4 y cos 2 ⁡ y   d y = 8 - s e n 3 y cos 3 ⁡ y 6 + 1 2 ∫ 0 π s e n 2 y cos 2 ⁡ y   d y

Passo 2

Neste passo vamos resolver a Integral:

∫ 0 π s e n 2 y cos 2 ⁡ y   d y

Dado a identidade trigonométrica:

s e n 2 y cos 2 ⁡ y = 1 - cos ⁡ ( 4 y ) 8

Inserindo a substituição na Integral:

∫ 0 π 1 - cos ⁡ ( 4 y ) 8 d y = 1 8 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 4 y d y

Aplicando a Regra da Cadeia nas Integrais temos:

1 8 ∫ 1   d y - ∫ cos ⁡ 4 y d y = 1 8 y - ∫ cos ⁡ 4 y d y

Resolvendo:

∫ cos ⁡ 4 y d y

u = 4 y

d u = 4

d x = 1 d u = 1 4

∫ 1 4 cos ⁡ u d u = 1 4 ∫ cos ⁡ u d u = 1 4 s e n u = 1 4 s e n ( 4 y )

Substituindo na expressão:

1 8 ∫ 1   d y - ∫ cos ⁡ 4 y d y = 1 8 y - 1 4 s e n 4 y

Substituindo tudo na primeira fórmula:

8 ∫ 0 π s e n 4 y cos 2 ⁡ y   d y = 8 - s e n 3 y cos 3 ⁡ y 6 + 1 2 1 8 y - 1 4 s e n 4 y

Passo 3

Resolvendo as multiplicações:

8 - s e n 3 y cos 3 ⁡ y 6 + 1 16 y - 1 4 s e n 4 y

Aplicando os limites da integral:

8 - s e n 3 y cos 3 ⁡ y 6 + 1 16 y - 1 4 s e n 4 y 0 π

Substituindo pelos limites:

8 - s e n 3 π cos 3 ⁡ π 6 + 1 16 π - 1 4 s e n 4 π - - s e n 3 0 cos 3 ⁡ 0 6 + 1 16 0 - 1 4 s e n ( 0 )

Dado: s e n   π = 0   e   s e n 0 = 0 , cos ⁡ π = - 1   e cos ⁡ 0 = 1

Substituindo temos:

8 - 0 ⋅ - 1 6 + 1 16 π - 1 4 ⋅ 0 - - 0 ⋅ 1 6 + 1 16 0 - 1 4 ⋅ 0

Resolvendo as operações:

8 0 + 1 16 π - 0 + 0 = 8 π 16 = 8 π 16 = π 2

Resposta

π 2

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