Calcule a Integral abaixo:

19 - ∫ 16   s e n 2 x cos 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Dado as propriedades trigonométricas:

  • s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x )
  • cos 2 ⁡ x = 1   +  cos ⁡ 2 x 2 = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x )
  • Agora vamos substituir na integral e colocar o 16 para fora da integral:

    16 ∫ 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x ) d x = 16 4 ∫ ( 1 - cos ⁡ 2 x ) ( 1 + cos ⁡ 2 x )   d x

    4   ∫ ( 1 - cos ⁡ 2 x ) (   1 + cos ⁡ 2 x ) d x

    Resolvendo o notável: ( 1 - cos ⁡ 2 x ) (   1 + cos ⁡ 2 x ) = 1 - cos 2 ⁡ 2 x

    4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ 2 x   d x

    Passo 2

    Para a próxima etapa vamos dividir a integral em partes, veja:

    4 ∫ 1 d x - ∫ cos 2 ⁡ 2 x   d x = 4 x - ∫ cos 2 ⁡ 2 x   d x

    Resolvendo a integral:

    ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x

    Substituindo em u du, temos que:

    u = 2 x  

    d u = 2   ,   d u   é   a   d e r i v a d a   d e   u .

    d x = 1 d u = 1 2

    Substituindo na integral:

    ∫ cos 2 ⁡ u ⋅ 1 2 d u = 1 2 ∫ cos 2 ⁡ u d u

    Utilizando novamente a propriedade trigonométrica:

  • cos 2 ⁡ x = 1   +  cos ⁡ 2 x 2 = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x )

1 2 ∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u )   d u = 1 4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u   d u

Dado: ∫ cos ⁡ 2 u   d u = s e n   ( 2 u ) 2   e   ∫ 1   d u = u

1 4 u + s e n 2 u 2 = u 4 + s e n 2 u 8

Dado u = 2x, teremos:

2 x 4 + s e n 4 x 4

Substituindo na fórmula:

4 x - 2 x 4 - s e n 4 x 8 + c

Passo 2

Resolvendo a multiplicação temos:

4 x - 8 x 4 - 4 s e n 4 x 8 + c = 4 x - 2 x - s e n 4 x 2 + c = 2 x - s e n 4 x 2 + c

Resposta

2 x - s e n 4 x 2 + c

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