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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 19

Calcule a Integral abaixo:

19 - int 16 s e n^2 x cos^2 x d x

Passo 1

Dado as propriedades trigonométricas:

  • s e n^2 x = (1 - cos 2 x)/(2) = (1)/(2) ( 1 - cos 2 x )
  • cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) = (1)/(2) ( 1 + cos 2 x )

    • Agora vamos substituir na integral e colocar o 16 para fora da integral:

    16 int (1)/(2) ( 1 - cos 2 x ) (1)/(2) ( 1 + cos 2 x ) d x = (16)/(4) int ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cos 2 x ) d x

    4 int ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cos 2 x ) d x

    Resolvendo o notável: ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cos 2 x ) = 1 - cos^2 2 x

    4 int 1 - cos^2 2 x d x

    Passo 2

    Para a próxima etapa vamos dividir a integral em partes, veja:

    4 [int 1 d x - int cos^2 2 x d x] = 4 [x - int cos^2 2 x d x]

    Resolvendo a integral:

    int cos^2 2 x d x

    Substituindo em u du, temos que:

    u = 2 x

    d u = 2 , d u é a d e r i v a d a d e u .

    d x = (1)/(d u) = (1)/(2)

    Substituindo na integral:

    int cos^2 (u) * (1)/(2) d u = (1)/(2) int cos^2 (u) d u

    Utilizando novamente a propriedade trigonométrica:

  • cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) = (1)/(2) ( 1 + cos 2 x )

(1)/(2) int (1)/(2) ( 1 + cos 2 u ) d u = (1)/(4) int 1 + cos 2 u d u

Dado: int cos 2 u d u = (s e n ( 2 u ))/(2) e int 1 d u = u

(1)/(4) [u + (s e n (2 u))/(2)] = (u)/(4) + (s e n (2 u))/(8)

Dado u = 2x, teremos:

(2 x)/(4) + (s e n (4 x))/(4)

Substituindo na fórmula:

4 [x - (2 x)/(4) - (s e n (4 x))/(8)] + c

Passo 2

Resolvendo a multiplicação temos:

4 x - (8 x)/(4) - (4 s e n (4 x))/(8) + c = 4 x - 2 x - (s e n (4 x))/(2) + c = 2 x - (s e n (4 x))/(2) + c

Resposta

2 x - (s e n (4 x))/(2) + c

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